Encontrar el mejor polinomio aproximado de orden 2 para una función dos veces diferenciable

Question

Estoy buscando la prueba de cómo se deriva el polinomio de orden 2 que mejor aproxima una función dos veces diferenciable en un punto dado. He escrito una prueba simple para esto, pero algo no parece estar bien. Va de la siguiente manera:

Sea $f$ una función dos veces diferenciable alrededor del punto $a$, y buscamos el polinomio de orden 2 $p(x)$ tal que $|f(x) - p(x)|$ sea mínimo cuando $x\rightarrow a$. Dado que entonces $f(a) = p(a)$, $p(x)$ toma la forma

$$p(x) = c_2(x-a)^2 + c_1(x-a) + f(a).$$

Por lo tanto

$$|f(x) - p(x)| = \left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-c_1-c_2(x-a)\right|\cdot|x-a|$$

Cuando $x\rightarrow a$, entonces $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\rightarrow f^\prime(a)$, $c_2(x-a)\rightarrow 0$, por lo tanto $c_1 = f^\prime(a)$ y

$$p(x) = c_2(x-a)^2 + f^\prime(a)(x-a) + f(a).$$

Para el siguiente paso recordamos el teorema que establece que si la derivada de una función tiene un límite en un punto, entonces también es continua en ese punto:

$$\lim_{x\rightarrow a} f^\prime(x)=f^\prime(a).$$

Con esto tenemos

$$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^\prime(x)+f^\prime(a)}{2} = f^\prime(a)$$

y así

$$\begin{align} \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} - f^\prime(a) & = \lim_{x\rightarrow a}\frac{f^\prime(x)+f^\prime(a)}{2} - f^\prime(a)\\ & = \lim_{x\rightarrow a} \frac{f^\prime(x)-f^\prime(a)}{2} \end{align}$$

(Aquí es donde creo que está el problema).

Con esto ahora podemos escribir

$$|f(x) - p(x)| = \left|\frac{f^\prime(x)-f^\prime(a)}{2(x-a)} - c_2\right|\cdot|x-a|^2$$

De manera similar a antes, esto implica que el primer término debe tender a $0$, lo cual sucede cuando $c_2 = \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2}$, dando

$$p(x) = \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2}(x-a)^2 + f^\prime(a)(x-a) + f(a).$$

Esto es, por supuesto, correcto, pero creo que algo está mal. En la ecuación que marqué como la posible fuente del problema, ambos lados tienden a $0$ cuando $x$ tiende a $a$, pero eso seguiría siendo cierto si reemplazara el denominador de $\frac{f^\prime(x)-f^\prime(a)}{2}$ con cualquier número positivo, digamos $100$. Entonces, con el mismo razonamiento podríamos decir que

$$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} - f^\prime(a) = \lim_{x\rightarrow a} \frac{f^\prime(x)-f^\prime(a)}{100}$$

también es cierto, lo que nos llevaría a la estimación incorrecta

$$p(x) = \frac{f^{\prime\prime}(a)}{100}(x-a)^2 + f^\prime(a)(x-a) + f(a).$$

¿Alguien puede explicar qué está mal y cómo resolver esto?

Answer 1

El problema es que

Encontrar $p(x)$ de manera que $|f(x)- p(x)|$ sea mínimo cuando $x\to a$

no es un problema preciso. Por ejemplo, si lo anterior significa minimizar

$$\lim_{x\to a} |f(x) -p(x)|,$$ entonces cualquier polinomio (de hecho, cualquier $p$ continuo) con $p(x) = f(a)$ sería suficiente.

Un problema más preciso es si se puede encontrar un polinomio de orden 2 $p$ de manera que

$$\tag{1} \frac{f(x) - p(x)}{(x-a)^2} \to 0$$

cuando $x\to a$. Habrá como máximo un polinomio $p$ que cumpla con (1): si tanto $p_1, p_2$ cumplen con (1), entonces

$$\lim_{x\to a}\frac{p_1(x) - p_2(x)}{(x-a)^2} =0,$$ y esto implica que $p_1(x) = p_2(x)$.

Por otro lado, la serie de Taylor $$T(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f''(a)}{2} (x-a)^2$$ sería la correcta ya que por L'Hospital, $$\begin{align} \lim_{x\to a} \frac{f(x) - T(x)}{(x-a)^2} &= \lim_{x\to a} \frac{f'(x) -T'(x)}{2(x-a)}\\ &= \frac 12 \lim_{x\to a} \left( \frac{f'(x) - f'(a)}{x-a} - f''(a)\right) = 0. \end{align}$$

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