Rotación alrededor de un eje determinado

Question

En $\mathbb{R^3}$ , dejemos que $L=span{(1,1,0)}$ y que $T:\mathbb{R^3}\rightarrow \mathbb{R^3}$ sea una rotación por $\pi/4$ alrededor del eje $L$ . Elige cualquier dirección. Aceptamos el hecho de que T es una transformación lineal. Halla la matriz de T.

Primero encontré una base ortonormal para $L^{\perp}$ : { $(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0),(0,0,1)$ } y la ampliamos a una base ortonormal para $\mathbb{R^3}$ : $\alpha$$=${$(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0),(0,0,1),(1,0,0)$}.

Ahora quiero encontrar la matriz $_{\alpha}[T]_{\alpha}$ así que tengo que encontrar $T(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0)$ , $T(0,0,1)$ y $T(1,0,0)$ pero no tengo ni idea de cómo hacerlo, es decir, ni idea de cómo rotar geométricamente estos vectores para encontrar su traslación.

Answer 1

Lo haría de la siguiente manera.

Primero observa que obtienes el vector unitario $\vec{u}=(1/\sqrt2,1/\sqrt2,0)$ en paralelo a $L$ girando el vector base estándar $\vec{i}=(1,0,0)$ 45 grados sobre el $z$ -Eje. Sea $T_1$ sea esa rotación. Supongo que usted sabe cómo anotar una matriz de $T_1$ .

Sea $T_2$ sea una rotación alrededor del $x$ -eje. Esto es algo que también deberías ser capaz de construir. Entonces afirmo que $T_1\circ T_2\circ T_1^{-1}$ es la rotación prescrita en torno a $\vec{u}$ . Esto es fácil de entender. Primero la inversa $T_1^{-1}$ girará el universo de tal manera que la imagen de $\vec{u}$ apunta en la dirección del positivo $x$ -eje. Luego se rota el universo alrededor de ese $x$ -eje realizando $T_2$ . Obsérvese que esto significa que la imagen de cualquier vector gira 45 grados sobre la imagen de $\vec{u}$ . Así que cuando al final cancelamos la primera rotación realizando $T_1$ el vector $\vec{u}$ (cuya imagen no se movió en el segundo paso, porque era el eje de rotación $T_2$ ) vuelve a su versión original, y el resto del universo gira 45 grados en torno a ella.

También puede utilizar la matriz de cambio de base que conecta su base $\alpha$ y la base natural en lugar de $T_1$ arriba. Pero cuidado con la dirección del cambio de base. Entonces la idea sería que usted sabe lo que su rotación se parece cuando usted lo está haciendo usando base $\alpha$ (pero arregla ese tercer vector, porque no es ortogonal a los otros dos). Luego se hace la magia habitual del cambio de base para reescribir la matriz en términos de la base natural. Es más o menos lo mismo.

Answer 2

Supongo que al decir "hallar la matriz", estamos hallando la representación matricial en la base estándar.

Escribe la matriz de rotación en el espacio 3D alrededor de 1 eje, es decir, alrededor del primer eje, $$\begin{equation} T' = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ 0&\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix} \end{equation}$$

Considere esta matriz como representada en la base $\{e_1,e_2,e_3\}$ donde $e_1$ = "eje de rotación", y $e_2$ y $e_3$ son perpendiculares a $e_1.$ En este caso, $e_1$ será (1,1,0). Podemos tomar $e_2$ = (0,0,1) y $e_3 = e_1 \times e_2.$

Definir la matriz $E = (\; e_1 \;|\; e_2 \;|\; e_3 \;).$

Entonces, si $T$ es la representación en la base estándar, $$\begin{equation} T = E\;T'E^{-1} \end{equation}$$

Answer 3

En este enlace: https://arxiv.org/abs/1404.6055 se dio una fórmula general de rotación 3D basada en coordenadas homogéneas 3D.

Para los casos en que los ejes de rotación no pasan por el origen del sistema de coordenadas, hay que utilizar coordenadas homogéneas, ya que no se puede utilizar una matriz cuadrada para representar la rotación sólo en la geometría euclidiana: se encuentra en el dominio de la geometría proyectiva.

Para los casos en que los ejes de rotación pasan por el origen del sistema de coordenadas, la fórmula de https://arxiv.org/abs/1404.6055 todavía se puede utilizar: primero obtenga los 4 $\times$ 4 rotación homogénea, luego truncarla en 3 $\times$ 3 con sólo la izquierda hacia arriba 3 $\times$ 3 submatriz izquierda, la matriz bloque izquierda sería la deseada.