Condición necesaria y suficiente para $R/IJ \cong R/I \times R/J$

Question

Sea $I$ y $J$ sean dos ideales de un anillo conmutativo $R$ con $1.$ Dar una condición necesaria y suficiente $$R/IJ\cong R/I\times R/J.$$ Demuestra lo que dices. A continuación, decida si el siguiente anillo isom $$\mathbb{Q}[x]/\langle x^2-1\rangle\cong \mathbb{Q}[x]/\langle x-1\rangle\times \mathbb{Q}[x]/\langle x+1\rangle,$$ $$\mathbb{Z}[x]/\langle x^2-1\rangle\cong \mathbb{Z}[x]/\langle x-1\rangle\times \mathbb{Z}[x]/\langle x+1\rangle.$$

Hace tiempo que cursé Álgebra Abstracta y me estoy preparando para los preliminares. No estoy seguro de cómo abordar este tema. Cualquier ayuda/sugerencia/pista será muy agradecida. Esto es lo que tengo hasta ahora:

Se trata de una versión simplificada del teorema chino del resto. [ ] $R\to R/I\times R/J$ definido por $r\mapsto (r+I,r+J)$ es un homomorfismo de anillo con núcleo $I\cap J.$ Si los ideales $I$ y $J$ son comaximales, entonces este mapa es suryectivo y $I\cap J=I\cdot J$ , $$R/(I\cdot J)=R/(I\cap J)\cong R/I\times R/J.$$

Mi pregunta es sobre la segunda parte de la pregunta, ¿tengo que comprobar si: $\langle x-1\rangle$ y $\langle x+1\rangle$ son comaximales y $\mathbb{Q}[x]$ y/o $\mathbb{Z}[x]$ ¿son homomorfismos de anillo? Creo que estos ideales son comaximales en ambos casos pero olvido cómo demostrarlo.

Answer 1

Tenga en cuenta que $I$ y $J$ son comaximales si y sólo si ninguno de los ideales es todo de $R$ y $I+J=R$ si y sólo si $1\in I+J$ si y sólo si existe $a\in I$ y $b\in J$ tal que $a+b=1$ .

En el caso de $R=\mathbb{Q}[x]$ ¿Qué puede decir sobre $\langle x+1\rangle+\langle x-1\rangle = \langle x+1,x-1\rangle$ ? ¿Contiene necesariamente $1$ ? (La respuesta debería ser fácil de detectar)

En el caso de $\mathbb{R}=\mathbb{Z}[x]$ no es tan fácil encontrar la respuesta... Si son comaximal, entonces cualquier homomorfismo que mapee, digamos, $x-1$ à $0$ debe mapa $x+1$ a una unidad (¿entiendes por qué?); a la inversa, si cada homomorfismo que mapea $x-1$ à $0$ también mapas $x+1$ a una unidad, entonces son comaximales (¿ves por qué?). Consideremos ahora el mapa $\mathbb{Z}[x]\to\mathbb{Z}$ que viene dada por la "evaluación en $1$ ". El mapa enviará $x-1$ à $0$ ...