Isomorfismos que tienen nombre (O: Isomorfismos sin base)

Question

La respuesta a este pregunta mía me proporcionó el hecho de que cada isomorfismo $$\phi: K^{n} \rightarrow V,$$ donde $V$ es un espacio vectorial arbitrario de dimensión finita $n$ en el campo $K$ tiene la forma

$$\begin{eqnarray*} & \phi\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)= x_{1}\vec{v}_{1}+\ldots+x_{n}\vec{v}_{n}, \end{eqnarray*}$$ donde $\left(\vec{v}_{1},\ldots,\vec{v}_{n}\right)$ es alguna base de $V$ .

Ahora me preguntaba, ¿es posible exhibir un isomorfismo del que no se pueda adivinar inmediatamente la base $\left(\vec{v}_{1},\ldots,\vec{v}_{n}\right)$ en el que está escrito en ?

Considere esta analogía: Todo mapeo lineal $f$ de, digamos $\mathbb{R}^2$ à $\mathbb{R}^2$ , $$f(x_1,x_2)=(t_1x_1+t_2x_2)\vec{e}_{1} +(t_3x_1+t_4x_2)\vec{e}_{2},$$

donde $t_1,t_2,t_3,t_4$ son algunos números reales.

Una rotación de $45^{\circ}$ dirección contraria a las agujas del reloj es un mapeo lineal, pero no es obvio , cuál es el $t_1,t_2,t_3,t_4$ debe ser. (Sólo después de algunos retoques se consigue que sean $\cos \frac{\pi}{2},-\sin \frac{\pi}{2},\sin \frac{\pi}{2},\cos \frac{\pi}{2}$ )

No obstante, para las típicas correspondencias lineales como
$$f(x_1,x_2)= (x_1,x_2)$$ no tendremos una interpretación tan "sin forma" como decir "es una rotación", ya que aquí es obvio, que $t_1=1,t_2=0,t_3=0,t_4=1$ .

(Un ejemplo diferente de un mapeo lineal para el que la $t_1,t_2,t_3,t_4$ no son obvios de adivinar es el operador de diferenciación, que mapea cada polinomio de grado como máximo $1$ a su derivada)

Answer 1

No es necesario adivinar, se puede calcular la base a partir de $v_i = \phi(e_i)$ . Por ejemplo, si $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ es la rotación que mencionas, tenemos (por trigonometría elemental) $f(e_1) = (\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)$ y $f(e_2) = (-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)$ . Su segundo ejemplo $f=\mathrm{id}$ es la rotación de 0°.

EDIT: Creo que ahora he entendido su pregunta. Bueno, hay toneladas de ejemplos y se producen en todas partes en las ramas algebraicas sabrosas de las matemáticas. No intentaré empezar una lista aquí, ya que esto no llevará a ninguna parte. Sólo un ejemplo:

Considere el mapa $S^1 \to S^1$ , $z \mapsto z^p$ que enrolla el círculo $p$ veces a su alrededor. Sobre la homología $H_1(-,K)$ Esto induce una $K$ -mapa lineal mapa $K \to K$ (después de haber fijado los generadores canónicos de $H_1(S^1,K)$ ). ¿Pero cuál? Resulta que se trata de $x \mapsto px$ . En realidad, éste es un ejemplo fácil, ya que se puede verificar esta conjetura inmediatamente a partir de las definiciones. Pero para espacios y mapas más complicados, esta forma de escribir un mapa lineal sobre homología, cohomología o grupos de homotopía se vuelve terriblemente difícil. A menudo no basta con rastrear las definiciones, sino que hay que recurrir a trucos sofisticados. Y esto se vuelve aún más avanzado cuando todos estos espacios vectoriales son trozos de una secuencia espectral, cuyas diferenciales te gustaría entender.

Otro ejemplo más elemental: Se sabe que $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}$ . Consideremos ahora el isomorfismo $\mathbb{C} \times \mathbb{C} \to \mathbb{C} \times \mathbb{C}$ que intercambia las entradas, $(a,b) \mapsto (b,a)$ . ¿A qué crees que corresponde este mapa en el producto tensorial $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$ ? ¿Es realmente el que intercambia los factores del tensor? Resulta que corresponde a $\mathrm{id} \otimes c$ (o $c \otimes \mathrm{id}$ en función de las opciones), donde $c$ ¡denota la conjugación compleja!

Answer 2

Un espacio vectorial de dimensión finita $V$ es isomorfo a su dual $V^*$ pero el isomorfismo depende de la elección de una base en $V$ .

Sin embargo, existe una canónico isomorfismo entre $V$ y su doble dual $V^{**}=(V^*)^*$ dada por $v \mapsto (f \mapsto f(v))$ que no depende de una base.