Sea $F$ sea un operador lineal tal que $F^2 - F + I = 0$ demuestre que $F$ es invertible y $F^{-1} = I - F$

Question

No entendí este ejercicio. Intenté trabajar con

$$F^2 - F + I = 0\implies (F-I)(F) + I =0$$

pero realmente no entiendo como probar $F$ es invertible ni hallar la inversa. ¿Alguna pista? Muchas gracias.

Answer 1

Toma lo que tienes, $$(F-I)F+I=0$$ Es decir $$(F-I)F=-I$$ así que $$(I-F)F=I$$

Tenga en cuenta también que $$(I-F)F=(F-F^2)=F(I-F)=I$$

Así $F^{-1}=I-F$ .

Answer 2

Pista 1: puede $0$ sea un valor propio de $F$ ?

Pista 2: ¿puedes multiplicar $F^2-F+I=0$ por $F^{-1}$ una vez que sabes que existe?