Hola a todos Estoy leyendo algunos artículos sobre el invariante de Casson para homología (integral) 3-esferas... como dice la wiki "Informalmente hablando, el invariante de Casson cuenta el número de clases de conjugación de representaciones del grupo fundamental de una homología 3-esfera M en el grupo $SU(2)$ ". Parece ser algo interesante para estudiar, pero este es "mi primer viaje" en el reino de la topología de 3-manifoldes, así que no entiendo el significado profundo de esta invariante. Quiero decir, ¿por qué debería uno estudiar esta invariante? ¿qué debería esperar de ella? ¿qué contribuciones puede aportar a este campo? En particular, me encontré con el invariante de Casson mientras estudiaba los desdoblamientos de Heegaard... ¿tienes alguna lectura que sugerirme? Muchas gracias, Lor
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La descripción que hace Wikipedia del invariante de Casson da la primera razón importante para estudiarlo. Como invariante que procede del $\text{SU}(2)$ variedad de representación de $\pi_1(M)$ revela en particular que $\pi_1(M)$ es distinto de cero. En aquel momento, antes de que Perelman demostrara la conjetura de Poincaré y la geometrización, había mucho misterio sobre posibles contraejemplos a la conjetura de Poincaré. Por ejemplo, se especulaba con que el llamado $\mu$ invariante podría revelar un contraejemplo. Dado que el invariante de Casson eleva el $\mu$ invariante, y puesto que demuestra que $\pi_1(M)$ es no trivial cuando es distinto de cero, es una forma de ver que la $\mu$ invariante nunca puede certificar un contraejemplo a la conjetura de Poincaré. (Por supuesto, no sabemos que no hay contraejemplos).
Una segunda razón fundamental para estudiar el invariante de Casson es que es el único invariante de tipo finito de las esferas homológicas de grado 1. Muchos invariantes interesantes de tres pliegues son de tipo finito, o (conjeturalmente) llevan la misma información que una secuencia de invariantes de tipo finito. Esto se conoce con más rigor a nivel de nudos; por ejemplo, las derivadas del polinomio de Alexander, el polinomio de Jones y muchos otros polinomios en $1$ son todos invariantes de tipo finito. A nivel de nudos, la segunda derivada del polinomio de Alexander, $\Delta''_K(1)$ se sabe que es el único invariante de tipo finito no trivial de grado 2, y no hay nada de grado 1. Por tanto, esto significa que este invariante aparece una y otra vez como parte de la información de muchos otros invariantes; hay muchas definiciones diferentes del mismo $\Delta''_K(1)$ . Lo mismo debería ocurrir con el invariante de Casson y, de hecho, ya existen dos tipos de definiciones de aspecto muy diferente: (1) la definición de Casson; (2) el primer invariante OVM o el primer invariante integral del espacio de configuración.
Una tercera razón fundamental es que el invariante de Casson tiene una categorización importante, la homología de Floer, que son los objetos de la teoría cuyos morfismos proceden de la teoría de Donaldson. Una arruga de esta construcción es que sólo es una categorización de una de las definiciones del invariante de Casson, la definición de Casson. Si el invariante de Casson tiene muchas definiciones, entonces podría (por lo que sé) tener muchas categorizaciones diferentes.
Si su pregunta se refiere en el sentido estricto de qué topología se puede demostrar con el invariante de Casson, entonces definitivamente se pueden demostrar algunas cosas, pero sólo (hasta ahora) una cantidad limitada. Sin embargo, si te interesan los invariantes topológicos cuánticos por derecho propio, y no sólo como herramienta para problemas de topología precuántica, entonces el invariante de Casson es importante porque es un invariante altamente no trivial que se encuentra pronto y a menudo.
