Puedo adivinar un número irracional fórmula de sus dígitos?

Question

Digamos que tiene 10.000 dígitos comenzó a partir de un cierto punto (digamos que el 16 dígitos) de la expansión decimal de la raíz cuadrada de algunos de número arbitrario, como 13. ¿Hay alguna manera de que yo pueda volver a la fórmula original, que fue sqrt(13) ? ¿Alguien puede proporcionar algunas pruebas matemáticas que se han hecho respecto a este tema?

Answer 1

Si el número irracional es algebraicas de grado dos (es decir, es una raíz de una ecuación cuadrática polinomio con coeficientes enteros), entonces existe una forma bastante fiable para hacer una conjetura sobre el valor original. Su ejemplo de caso cae dentro de esta categoría, siendo igual a $10^{16} \sqrt{13} - n$ para algunos entero $n$. Es importante tener en cuenta que la gran mayoría de los números irracionales no entran en ninguna categoría especial, digamos en este en particular.

Usted querrá buscar fracciones continuas. Si el irracional es el tipo muy especial que he descrito anteriormente, entonces la continuación de la fracción será finalmente periódico (infinitamente repetido), muy similares a los de un decimal expansión periódica de los números racionales.

Ahora, por supuesto, si usted sólo tiene un número finito de dígitos que sólo se puede extraer un número finito de términos en la continuidad de la fracción de expansión, así que usted nunca puede tener suficiente precisión para estar absolutamente seguro de que el número de la identidad. Sin embargo, si usted tiene 10000 dígitos se le puede extraer miles de términos. Si ves que las condiciones aspecto, digamos,

$$[3; 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 23, 8, 4, 3, 23, 8, 4, 3, 23, 8, 4, 3, 23, 8, 4, 3, 23, 8, 4, \ldots]$$

y que el patten de "8, 4, 3, 23", continúa repitiendo miles de veces hasta llegar a la precisión de lo permitido por su muestra de entrada, sería razonable suponer que continúa para siempre, y, a continuación, hay maneras sencillas de calcular el valor exacto que sería suponiendo que es el caso.

Answer 2

No importa cómo muchos de los dígitos de un número irracional usted sabe, hay una cantidad infinita de irracional (e incluso racional!) los números que comienzan con los dígitos. Por lo que su 'fórmula' sólo le dará uno de ellos.

También, hay un montón más (en un sentido muy específico) los números irracionales de las fórmulas (de longitud finita, como Brian Tung señaló).

Answer 3

Si usted sabe que es una raíz cuadrada y tiene una dura obligado, es cierto que se pueden encontrar. Vamos a decir $\sqrt{x} = 10^{-16} (y + z)$ donde $y$ es un entero positivo y $0 < z < 1$ (para los dígitos de $z$ son los dígitos de $\sqrt{x}$ de la $16$'th.). Usted sabe que muchos de los dígitos de $z$, pero no $x$ o $y$. Por lo tanto $z = 10^{16} \sqrt{x} - y$ satisface la ecuación cuadrática $$ z^2 = b - a z $$ donde $$\eqalign{b &= 10^{32} x - y^2\cr a &= 2 y\cr}$$

En tu ejemplo, supongamos que sabemos que el 84 dígitos de $\sqrt{13}$ después de la primera $16$:

$$ z = 0.9311922126747049594625129657384524621271045305622716694829301044520461908201849 $$

No sabemos $13$, pero sospechamos $x$ no es demasiado grande, por lo $a$ (y por lo tanto también se $b$) debe ser algo en el orden de $10^{16}$.

El uso de Maple PSLQ función con los Dígitos = 64, nos encontramos con un aproximado entero relación entre $1$, $z$ y $z^2$:

$$-67149225402228336 + 72111025509279784 z + z^2 \approx 0$$

de la que podemos obtener

$$ \eqalign{ y y= 72111025509279784/2 = 36055512754639892\cr x &\aprox (-67149225402228336 + y^2)/10^{32} = 13\cr}$$

Answer 4

Si la búsqueda está limitada a las raíces cuadradas de números enteros, la respuesta es positiva: basta calcular todas las raíces cuadradas de vuelta y tratar de igualar los decimales. Si el dado dígitos eran realmente de una raíz cuadrada, la búsqueda de la encontrarán. Si fueron tomadas "al azar", la búsqueda se puede encontrar probablemente un número.

Huelga decir que esto es sólo una aproximación teórica, ya que esto podría tomar una gran cantidad de tiempo y recursos.

Answer 5

ETA2: lo Siento, no entendí la pregunta para decir que el número podría ser cualquier irracional del valor de la raíz cuadrada de un número entero. Leer con eso en mente...

Creo que sólo hay heurística. Este sitio

https://isc.carma.newcastle.edu.au/

(llamado el Inverso Simbólico de la Calculadora) puede ser relevante para sus intereses.

ETA: creo que lo que hace es de forma recursiva construir expresiones de una gran base de datos de valores atómicos y ordenarlos por mejor partido. Así que no hay mucho de la teoría detrás de esto, no creo que-simplemente el mejor esfuerzo.

Usted también podría estar interesado en Dirichlet del Teorema de Aproximación:

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_approximation_theorem

y Hurwitz del Teorema:

https://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz%27s_theorem_%28number_theory%29