Transformación lineal de una base estándar a otra base

Question

Tenemos una transformación lineal $A: R³ \rightarrow R³$ donde en una base

$$B = \{ \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \}$$

Existe una matriz $$A_B=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & -1 \end{bmatrix}$$

Necesitamos encontrar esta matriz en la base estándar ( esto significa vectores que tienen sólo un $1$ y todos los demás 0, para que sean independientes)

He probado lo siguiente:

Me multiplicaría:

$$A_B*\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$$ Entonces intentaría obtener esta matriz de $x*e_1+y*e_2+z*e_3$ .

Dónde pondría $x,y$ et $z$ en su propio vector, que debería ser la primera columna de la nueva matriz basada en la base estándar.

El caso es que obtengo la misma matriz ( $A_B$ ). Sé que así es como calcularíamos si tuviéramos la matriz ya en una base estándar y quisiéramos escribirla en otra matriz. ¿Por qué no funciona al revés? ¿Me he perdido algo? ¿Cómo resolver este problema entonces?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$A_{BC} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ Es el cambio de matriz base de $C$ à $B$ donde $C=\{(1,0,0),\;(0,1,0),\;(0,0,1)\}$ y $B=\{(1,2,1),\;(2,1,1),\;(1,0,0)\}$ . Entonces la matriz que buscas es $A_{BC}\times A_B \times (A_{BC})^{-1}$

Por favor, eche un vistazo a esto pregunta .