Veo que la primera Ecuación de Friedmann (para espacio plano) es: $$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2=\frac{8\pi G}{3}\rho.$$ Y sé que la ecuación de Einstein, sólo considerando el componente tiempo-tiempo es: $$R_{00}-\frac{1}{2}g_{00}R=8\pi G T_{00}.$$ Y sé que $T_{00}$ en el tensor es $\rho$ así que tenemos: $$R_{00}-\frac{1}{2}g_{00}R=8\pi G\rho.$$ ¿Podría alguien completar los pasos que faltan? ¿Cómo llegamos a: $$R_{00}-\frac{1}{2}g_{00}R=3\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2~?$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Este es un ejemplo típico en el que una derivación newtoniana es mucho más sencilla y rápida, y da la misma respuesta. Que se puede encontrar fácilmente en Internet.
Pero si quieres hacer esto desde dentro de la RG, entonces tienes que calcular la entrada del tensor de Ricci $R_{00}$ el escalar de Ricci $R$ y la entrada métrica $g_{00}$ :
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$g_{00} = 1$ ;
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$R_{00}$ : $$ R_{00} = R^m_{tmt} = R^r_{rtr} + R^\theta_{t\theta t} + R^\phi_{t\phi t} = -3 \frac{\ddot a}{a},$$ donde cada tensor de Riemann depende de los símbolos de Christoffel (enumerados, por ejemplo, en sección C aquí);
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$R$ : $$R = g^{ik}R_{ik} = -6\frac{\ddot a}{a} - 6\left ( \frac{\dot a}{a} \right )^2 - 6\frac{1}{k^2a^2},$$ donde $k^{-2}=0$ para el espacio plano.
Así que poniéndolo todo junto: $$ R_{00} -\frac{1}{2}Rg_{00} = -3\frac{\ddot a}{a}+3\frac{\ddot a}{a} + 3\left ( \frac{\dot a}{a} \right )^2.$$
Por lo tanto: $$3\left ( \frac{\dot a}{a} \right )^2 = 8\pi G\rho, $$ $$ \Rightarrow \left ( \frac{\dot a}{a} \right )^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho. $$
MRA
Puntos
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$$\Gamma_{ab}{}^{c} = \frac{1}{2}g^{cd}\left(g_{ad, b} + g_{bd,a} - g_{ab,d}\right)$$
$$R_{ab} = \partial_{c}\Gamma_{ab}{}^{c} - \partial_{a}\Gamma_{bc}{}^{c} + \Gamma_{ab}{}^{c}\Gamma_{ce}{}^{e} - \Gamma_{ad}{}^{c}\Gamma_{bc}{}^{d}$$
Así, dada una métrica, se puede calcular cualquier símbolo de Christoffel, y dado cualquier símbolo de Christoffel, se puede calcular el tensor de Ricci. Basta con girar la manivela y calcular $R_{00}$ y $R$
