Sea $\alpha,\beta$ sean ordinales. Entonces la ordenación lexicográfica de $\alpha\times\beta$ tiene tipo de orden $\beta\cdot\alpha$

Question

Sea $\alpha,\beta$ sean ordinales. Entonces la ordenación lexicográfica de $\alpha\times\beta$ tiene tipo de orden $\beta\cdot\alpha$ .

Este teorema procede del libro de texto Introducción a la teoría de conjuntos por Hrbacek y Jech. A continuación se muestra la captura de pantalla:

Creo que hay una errata en mi libro de texto. Creo que debería ser "...un isomorfismo entre $\alpha\times\beta$ y $\beta\cdot\alpha$ ..." en lugar de "...un isomorfismo entre $\alpha\times\beta$ y $\alpha\cdot\beta$ ..."

Tenemos una asignación $f:\alpha\times\beta\to \beta\cdot\alpha$ tal que $$\forall\zeta<\alpha,\eta<\beta:f(\zeta,\eta)=\alpha\cdot\eta+\zeta$$

Entonces $\operatorname{ran}(f)=\{\alpha\cdot\eta+\zeta\mid\zeta<\alpha\text{ and }\eta<\beta\}$ .

Lo he intentado pero sin éxito para probar $\{\alpha\cdot\eta+\zeta\mid\zeta<\alpha\text{ and }\eta<\beta\}=\beta\cdot\alpha$ . Por favor, ¡déjenme algunas pistas para completar la prueba!

Answer 1

La prueba utiliza la ordenación antilexicográfica, no la lexicográfica. Esto les permite utilizar $\alpha\cdot\beta$ .

En cuanto a la prueba, considere que para cualquier $\eta<\beta$ tenemos $(0,\eta)<(1,0)$ y hay $\beta$ tales elementos. Por lo tanto $f(1,0)=\beta$ . Que la gama resultante sea efectivamente $\beta\cdot\alpha$ es, como suele ocurrir con los ordinales, mejor demostrado por inducción. Tal vez eso te ayude a girar las cosas en la dirección correcta.

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Prueba de que $f$ es suryectiva

Tome un $\tau<\beta\cdot\alpha$ . Sea $$ \eta=\sup\{\gamma\mid \beta\cdot\gamma\leq\tau\} $$ Este $\eta$ existe porque el $\sup$ de un conjunto de ordinales es simplemente la unión, y la colección de $\gamma$ es un conjunto real, ya que está delimitado por $\alpha$ .

Tenemos $\eta<\alpha$ . Para demostrarlo, creo que hay que dividir los casos en función de si $\alpha$ y $\beta$ son ordinales límites u ordinales sucesores.

También tenemos $\beta\cdot\eta\leq\tau$ porque $\sup$ preserva las desigualdades (no estrictas). O puedes demostrarlo directamente, si quieres.

Esto significa que existe un único $\zeta$ tal que $\tau=\beta\cdot\eta+\zeta$ . Lo único que queda por demostrar es $\zeta<\beta$ que se hace por contradicción. Si $\zeta\geq\beta$ entonces $\zeta=\beta+\delta$ para algún ordinal $\delta$ , dando $$ \tau=\beta\cdot\eta+\zeta\\ =\beta\cdot\eta+\beta+\delta\\ =\beta\cdot(\eta+1)+\delta $$ Esto contradice la $\sup$ definición de $\eta$ .

Answer 2

Basándome en la respuesta de @Arthur, presento aquí una prueba detallada. Todos los créditos son para @Arthur.

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$\tau<\alpha\cdot\beta\implies \tau=\alpha\cdot\eta+\zeta$ para un único $\eta<\beta,\zeta<\alpha$

Para $\tau<\alpha\cdot\beta$ , dejemos que $X=\{\gamma\mid\alpha\cdot\gamma\le\tau\}$ y $\eta=\sup X$ . Desde $\tau<\alpha\cdot\beta$ , $\forall\gamma\in X:\gamma<\beta$ y así $\eta\le\beta$ .

En primer lugar, demostramos que $\eta<\beta$ .

• Si $\beta=\beta'+1$ entonces $\forall\gamma\in X:\gamma\le\beta'$ y así $\eta=\sup X\le\beta'<\beta$ .

• Si $\beta$ es un ordinal límite, suponemos lo contrario que $\eta=\beta$ . Entonces $\gamma<\beta\implies\gamma<\eta=\sup X$ $\implies\gamma<\gamma'$ para algunos $\gamma'\in X$ $\implies\alpha\cdot\gamma<\alpha\cdot\gamma'\le\tau$ para algunos $\gamma'\in X$ . Así $\gamma<\beta\implies$ $\alpha\cdot\gamma<\tau$ . Tenemos $\alpha\cdot\beta=\sup\{\alpha\cdot\gamma\mid\gamma<\beta\}\le\sup\{\tau\mid\gamma<\beta\}=\tau$ que es una contradicción. De ello se deduce que $\eta\neq\beta$ y así $\eta<\beta$ .

En segundo lugar, demostramos $\alpha\cdot\eta\le\tau$ .

• Si $\eta\in X$ entonces $\eta=\gamma$ para algunos $\gamma\in X$ . De ello se deduce que $\alpha\cdot\eta=\alpha\cdot\gamma\le\tau$ .

• Si $\eta\notin X$ entonces $\eta$ es claramente un ordinal límite. Tenemos $\gamma<\eta\implies\gamma<\sup X\implies\gamma<\gamma'$ para algunos $\gamma'\in X$ $\implies\alpha\cdot\gamma<\alpha\cdot\gamma'\le\tau$ para algunos $\gamma'\in X$ . De ello se deduce que $\gamma<\eta\implies\alpha\cdot\gamma<\tau$ . Entonces $\alpha\cdot\eta=\sup\{\alpha\cdot\gamma\mid\gamma<\eta\}\le\sup\{\tau\mid\gamma<\eta\}=\tau$ . Así $\alpha\cdot\eta\le\tau$ y por lo tanto $\eta\in X$ lo que contradice nuestra primera suposición de que $\eta\notin X$ . En consecuencia, este caso no existe.

Como resultado, existe una $\zeta$ tal que $\tau=\alpha\cdot\eta+\zeta$ .

Por último, demostramos $\zeta<\alpha$ . Supongamos lo contrario $\alpha\le\zeta$ entonces $\alpha+\delta=\zeta$ para algunos $\delta$ . Entonces $\tau=\alpha\cdot\eta+\zeta=\alpha\cdot\eta+(\alpha+\delta)=(\alpha\cdot\eta+\alpha)+\delta=\alpha\cdot(\eta+1)+\delta$ . Esto contradice el hecho de que $\eta=\sup X$ .