Tiempo de primer golpe de un paseo aleatorio simétrico

Question

Definiciones:

Sea $\xi_n$ sea un paseo aleatorio simétrico, es decir, $$ \xi_n=\eta_1+\eta_2+\dots+\eta_n, $$ donde $\{\eta_n\}$ es una secuencia de variables aleatorias i.i.d. tales que $$ P\{\eta_n=1\}=P\{\eta_n=-1\}=\frac{1}{2}. $$ Además, definimos el primer tiempo de impacto como $$\tau=\min\left\{n:|\xi_n|=K\right\},$$ donde $K$ es un número entero positivo.

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Estaba leyendo un libro sobre procesos estocásticos y aquí queremos demostrar que $\tau<\infty$ a.s. El libro lo demuestra de la siguiente manera

Queremos demostrar que $P\{\tau=\infty\}=0.$ Para ello estimaremos $P\{\tau>2Kn\}.$ Observe que $$P\{\tau>2Kn\}\le \left(1-\frac{1}{2^{2K}}\right)^n\longrightarrow 0$$ como $n\to\infty.$ Así, tenemos \begin{align} P\{\tau=\infty\}&=\bigcap_{n=1}^\infty P\{\tau>2Kn\} \\ &=\lim_{n\to\infty} P\{\tau>2Kn\}=0. \end{align}

Después de pasar algún tiempo, no pude averiguar cómo obtener la desigualdad $$P\{\tau>2Kn\}\le \left(1-\frac{1}{2^{2K}}\right)^n$$ en la primera línea de la prueba. ¿Puede alguien ayudarme a entender por qué se cumple esta desigualdad?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

• $\frac{1}{2^{2K}}$ es la probabilidad de $2K$ sucesivos $+1$ s seguidos en un intento de $2K$ pasos. Si esto ocurre, debe haber alcanzado el límite superior o haber empezado por debajo del límite inferior, ya que son $2K$ aparte.

• $1-\frac{1}{2^{2K}}$ es la probabilidad de no tener $2K$ sucesivos $+1$ s seguidos en un intento de $2K$ pasos.

• $\left(1-\frac{1}{2^{2K}}\right)^n$ es la probabilidad de no tener $2K$ sucesivos $+1$ s seguidos en cualquiera de $n$ intentos independientes de $2K$ pasos ( $2Kn$ pasos en total).

• Esta última probabilidad es, por tanto, menor o igual que la probabilidad de no llegar nunca a la frontera en $2Kn$ pasos, que es $P\{\tau>2Kn\}$ .

Unos límites más estrictos son posibles pero innecesarios.