Si un complejo Mentira grupo tiene la estructura de una expresión algebraica de grupo, es esta estructura única?

Question

Si $G$ $H$ algebraicos son los grupos de más de $\mathbb{C}$, e $f : G \rightarrow H$ es un isomorfismo de complejo Mentira grupos (es decir, un biholomorphic grupo de isomorfismo), entonces debe $f$ ser algebraicas? Si no, hay hipótesis adicionales que hacen de esta verdad?

Si $G$ $H$ son proyectivas generales GAGA maquinaria responde a la pregunta en forma afirmativa, pero esta es, obviamente, más bien restrictiva (en particular, las fuerzas de $G$ $H$ a ser abelian). Pero si $f$ no es un isomorfismo, y en cambio, es sólo un holomorphic grupo homomorphism, entonces no es necesario que sea algebraica, por ejemplo, el mapa de $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^*$$\lambda \mapsto e^\lambda$.

Answer 1

Un isomorfismo de complejo Mentira grupos de entre algebraicas grupos no necesitan ser algebraicas en general. Un contraejemplo es $$ \begin{align*} f:\mathbb{C}\times\mathbb{C}^\times&\xrightarrow{\sim} \mathbb{C}\times\mathbb{C}^\times,\\ (x,y)&\mapsto (x,y\cdot e^x). \end{align*} $$