¿Por qué es éste el vector propio?

Question

Para el vector propio cómo se obtienen \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} cuando tenga \begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} multiplicado por \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} que se convierte en tres ecuaciones..:

$(0) * v_1 -v_2 -v_3 = 0$

$(0) * v_1 - v_2 -3v_3 = 0$

$(0) * v_1 + (0) * v_2 -2v_3 = 0$

así que $v_1$ se vuelve hacia $0$ cuando se multiplica por $0$ así que ¿cómo están consiguiendo $1$ en el $v_1$ posición.. ¿Qué me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

Tenemos

$$\begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = 0\cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Así pues, el vector columna es efectivamente un vector propio de la matriz, con valor propio cero.

No estoy seguro de lo que quiere decir con "el vector propio más pequeño", ya que hay otros, con valores propios $-1$ y $-2$ .

En cuanto a tu análisis, @Hayden tiene razón al decir que puedes elegir $v_1$ arbitrariamente. Si sigues resolviendo esas ecuaciones obtendrás $v_2=0$ y $v_3=0$ . Por lo tanto, todos los vectores propios con valor propio cero son

$$\begin{bmatrix} v_1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

donde $v_1\ne 0$ . Si configura $v_1=0$ las igualdades se mantienen, pero por definición un vector propio debe ser distinto de cero.

Answer 2

Para el valor propio $\lambda=0$ significa que para el vector propio correspondiente.., $x$ , tienes $Ax = \lambda x$ que en este caso corresponde a $Ax=0$ .

Para resolver $x$ se puede establecer y reducir la fila de la matriz aumentada:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 0 & -1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & -3 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 0\end{array}\right]$

Reduciendo filas, llegamos a:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

Interpretando este resultado, esto significa que para $Ax=0$ donde $x=\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}$ que debes tener:

$\begin{cases} v_2=0\\ v_3=0\end{cases}$ mientras que $v_1$ puede ser cualquier cosa.

Así, el vector propio es cualquiera de la forma $\begin{bmatrix}v_1\\0\\0\end{bmatrix}$. One such representative is $\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$ .

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En general, para $Ax=\lambda x$ manipularás la expresión para darle la forma $(A-\lambda I)x = 0$ y reducimos por filas para encontrar el vector o vectores propios asociados a ese valor propio.