Quiero demostrar algunas igualdades que implican a la curva característica asociada a la ecuación de transporte, a saber, que la solución dada por $u_0(\varphi(-t,x))$ es una solución de la EDP.
Empecemos con algunas anotaciones:
La curva característica $\varphi(t,x)$ asociada a la ecuación de transporte
\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} u_t(t,x) + c(t,x)u_x(t,x) &=0\\ u(0,x)&=u_0(x) \end{aligned} \De acuerdo. \Fin.
es la solución de
\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \varphi_t(t,x) &= c(t,\varphi(t,x))\\ \varphi(0,x) &= x \end{aligned} \Muy bien. \Fin.
A continuación demostramos que $x \mapsto \varphi(t,x)$ es un $C^1$ -con inversa $x \mapsto \varphi(-t,x)$ . Hasta aquí todo correcto. El siguiente teorema afirma que $u_0(\varphi(-t,x))$ es una solución de la EDP. Llamémosla $u(t,x)$ .
Lo que he hecho :
\begin{equation} \begin{aligned} u_t(t,x) &= u_0'(\varphi(-t,x))\cdot (-\varphi_t(-t,x))) \\ u_x(t,x) &= u_0'(\varphi(-t,x))\cdot \varphi_x(-t,x)) \end{aligned} \end{equation}
Entonces $u_t(t,x)+c(t,x)u_x(t,x) = u_0'(\varphi(-t,x))[-\varphi_t(-t,x)+c(t,x)\varphi_x(-t,x)]$
Sabemos que $\varphi_t(-t,x) = c(-t,\varphi(-t,x))$ pero a partir de ahora, no puedo probar que $u(t,x)$ es efectivamente una solución de la EDP.
¿Me he perdido algo obvio?
