Estoy leyendo el libro "Massive neutrinos in physics and astrophysics" de R. N. Mohapatra y P. B. Pal, y tengo una pregunta sobre su notación. La ecuación 2.10, dice: $$ q_{L}=\binom{u_{L}}{d_{L}} : (2,\frac{1}{3})\\ u_{R}:(1,\frac{4}{3})\\ d_{R}:(1,-\frac{2}{3})\\ \psi_{L}=\binom{\nu_{eL}}{e_{L}} : (2,-1)\\ e_{R}:(1,-2)\\ \tag{2.10} $$ No entiendo dónde están los términos $(2,\frac{1}{3}),(1,\frac{4}{3}),(1,-\frac{2}{3}),(2,-1),(1,-2)$ y qué representan. Además, estaría bien que alguien me dijera por qué las partículas zurdas forman dobletes y las derechas son singletes.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para responder primero a tu última pregunta, es un hecho experimental que sólo los fermiones zurdos se ven afectados por las interacciones débiles. Los acoplamientos de los fermiones a la $W$ es proporcional a su isospín débil $T_3$ . Por lo tanto, los fermiones diestros deben tener $T_3=0$ . Se observa que los fermiones zurdos tienen el mismo isospín (universalidad de las corrientes cargadas), y las corrientes cargadas sólo conecte dos tipos de fermiones. La conclusión es que los fermiones zurdos deben venir en dobletes de isospín débil, con $T= \frac{1}{2}$ , $T_3 = \pm \frac{1}{2}$ .
Ahora bien, las representaciones del $SU(2)_L$ están etiquetados por la dimensión de la representación, que viene dada por $2 T+1$ . Esta es la razón por la que las representaciones de los fermiones zurdos son de la forma $(2, Y)$ y las de los fermiones diestros son $(1, Y)$ .
El grupo $U(1)_Y$ es análogo al grupo del electromagnetismo $U(1)_{em}$ . Sus representaciones están etiquetadas por la hipercarga débil $Y$ . Entonces, ¿qué determina el valor de $Y$ para cada fermión?
- Tras la ruptura espontánea de la simetría electrodébil, sólo el subgrupo $U(1)_{em} \subset SU(2)_L\times U(1)_Y$ permanece intacto. El generador de este grupo es la carga eléctrica $$Q = T_3 + \frac{Y}{2}\,, $$ así que trabajando hacia atrás, se puede determinar el valor de $Y$ si conoce los valores de $Q$ y $T_3$ .
- Las asignaciones de hipercarga no son tan arbitrarias como parece. Para evitar anomalías quirales causadas por diagramas triangulares (en un bucle) que harían que el sector electrodébil no fuera normalizable, la elección de la hipercarga se determina hasta una doble ambigüedad.
