¿Por qué la energía elástica sólo depende de las primeras derivadas?

Question

Supongamos que tenemos un material elástico que se deforma con la función de desplazamiento $u : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ . Es razonable suponer que la energía necesaria para dicho desplazamiento es una integral sobre las propiedades locales de $u$ :

$$E = \int_S F(u_i, u_{i,j}, u_{i,jk}, \cdots)$$

Dónde $u_{i,jk\cdots z} = \frac{\partial^m u_i}{\partial x_j \partial x_k\cdots \partial x_z}$ . Es evidente que $F$ no puede depender de $u_i$ porque la energía es invariante de traslación. Resulta que para pequeñas deformaciones $F$ depende de todos $u_{i,j} = \frac{\partial u_i}{\partial x_j}$ y no depende de derivadas superiores. Además, $F$ es cuadrática en $u_{i,j}$ a saber $F = \sum T_{ijkl} u_{i,j} u_{k,l}$ donde $T_{ijkl}$ depende del material. ¿Hay alguna razón para ello o se trata simplemente de un hecho empírico? ¿Existe un conjunto de supuestos intuitivos que conducen a esta forma de $F$ ?

Answer 1

No es tanto que $F$ no depende de las derivadas de orden superior, sino que, a una escala suficientemente pequeña (que es con lo que se trata al realizar una integral de este tipo), el término de primer orden es siempre dominante. Eso es bastante obvio: si simplemente expandes en Taylor en el desplazamiento, todos los términos se aproximan a cero como $\mathcal{O}(\Delta x^m)$ por lo que para $\Delta x\ll\chi$ (donde $\chi$ es algún tipo de longitud característica, del orden de magnitud de la inversa de los coeficientes de las derivadas en $F$ ), la contribución de los términos de orden superior es siempre despreciable.

Este argumento falla cuando los coeficientes son no en el mismo orden de magnitud. Eso puede ocurrir si se reduce la escala hasta la estructura interna del material: la integral es en realidad una aproximación de una suma sobre algún tipo de "unidades de construcción" discretas. Un ejemplo sería un muelle metálico apretado hasta que las espiras se toquen entre sí. En este caso, apretar un poco más requiere mucha más energía que soltar el muelle hasta el mismo desplazamiento absoluto, por lo que la contribución es de orden superior al primero.

---

De acuerdo, mi argumento es algo circular.

De nuevo, la integral es en realidad una aproximación de una suma sobre desplazamientos $\mathbf{u}_i$ de partículas discretas. Estamos modelando estos desplazamientos por un desplazamiento campo que es una función suave $\mathbf{u}(\mathbf{x})$ tal que $\mathbf{u}(\mathbf{x}_i)=\mathbf{u}_i$ . Esta función no debe introducir ninguna información adicional, es decir, su transformada de Fourier debe desaparecer para los números de onda superiores a la dimensión recíproca de la rejilla. $\kappa$ y, de hecho, mucho antes, porque no se trata de desplazamientos microscópicos. En $\mathbf{k}$ -las derivadas no son más que la multiplicación por $\mathrm{i}\mathbf{k}$ así que " $|\partial^m\mathbf{u}|\ll\kappa^m$ ". Se supone que las interacciones entre las partículas son predominantemente entre vecinos directos, por lo que $F$ debe evaluar $\mathbf{u}$ sólo con $\Delta x\leq\frac1\kappa$ . Pero entonces, las contribuciones reales son $F$ son términos $\Delta x^m\cdot \partial^m_{\mathbf{x}}\mathbf{u}\approx \eta^m$ con $\eta\ll \frac\kappa\kappa=1$ . Así pues, los términos que aparecen en $F$ desaparecen rápidamente por $m>1$ .