Un resultado más se ha añadido a continuación:
Usted lo desea, puede requerir que los distintos bordes se cruzan en más de un punto. Sin esto, por supuesto, incluso los ciclos se pueden dibujar de la manera que usted describe. (A-B-C-D gráfico y mover a y B del borde de CD, con Una más cerca de C.)
Con este requisito, usted definitivamente no se puede sacar incluso un ciclo.
Supongamos lo contrario, y dejar que el ciclo se $v_1v_2\cdots v_{2k} v_1$. Los bordes de $v_1v_2$ $v_3v_4$ cruz, y con el requisito de, $v_1$, $v_2$, y $v_3$ no puede ser colineales (suponiendo vértices compartidos son también no se permite). WLOG, asumir el borde de la $v_1v_2$ es horizontal y $v_3$ está por encima de la línea a través de $v_1$$v_2$. A continuación, $v_4$ es necesariamente por debajo de esa línea, $v_5$ está por encima, y así sucesivamente. Pero, a continuación, $v_{2k}$ $v_3$ están en lados opuestos de la línea, por lo $v_2v_3$ $v_{2k}v_1$ son disjuntas.
Añadido, basada en la discreta además de a la pregunta:
Deje $G$ un gráfico que se puede dibujar sin que se separe de los bordes. A continuación, sin vértices de $G$ puede tener 3 vecinos, cada uno de los cuales tiene un grado de al menos 2.
Prueba: Supongamos $G$ se dibuja sin que se separe de los bordes, y $v$ es adyacente a $a$, $b$, y $c$, cada uno de los grados, al menos,$2$. Vamos a obtener una contradicción.
[La Idea de la prueba: Las tres aristas $av$, $bv$, y $cv$ se encuentran en la mitad del plano-con $v$ en su límite, y el "medio" vértice no tiene otra arista que se cruza con los otros dos, según sea necesario.]
Considere la posibilidad de la mitad de los aviones de $\mathbb{R}^2$ que están en los dos lados de la línea a través de$a$$v$. A excepción de $av$, cualquier arista incidente en $a$ o $v$ se encuentra en su totalidad dentro de uno de estos la mitad de los aviones (el que contiene su vértice que no es $a$ o $v$). En particular, los bordes de $vb$ $vc$ cada uno de ellos se encuentran dentro de uno de estos la mitad de los aviones, y también lo hace el borde del vértice $a$ que no es el borde de la $av$. El último borde debe cruzan ambas $ab$$ac$, lo $b$ $c$ debe estar en el mismo semiplano con respecto a la $av$. Del mismo modo, $a$ $c$ debe estar en el mismo semiplano con respecto a la $bv$, e $a$ $b$ debe estar en el mismo semiplano con respecto a la $cv$. Esto es imposible. Si $b$ $c$ están en el mismo semiplano con respecto a la $av$, entonces cualquiera de las $0<\angle avb < \angle avc \le \pi$ o $0<\angle avc < \angle avb \le \pi$, y el "medio" de los bordes de la mayor ángulo de las hojas de un vértice en cada una de la mitad de los aviones que crea.
