La curva en el espacio 3 tiene una tangente que siempre interseca una línea fija, entonces la curva es plana

Question

Esta es una vieja pregunta de examen que no sé cómo empezar.

Sea $\alpha$ sea una curva regular en $\mathbb{R}^2$ . Demostrar que si una recta tangente a $\alpha$ interseca una línea fija $l\in\mathbb{R}^3$ entonces $\alpha$ es plana.

Mi primer problema es cómo utilizar realmente el supuesto principal. Quiero expresar algebraicamente la condición de que estas dos rectas se intersecan para derivar que la torsión es $0$ . Parametrizo $l = a + b t$ pero entonces no sé obtener una expresión para diferenciar (o manipular) que caracterice la suposición de que la tangente y la $l$ entrecruzarse. ¿Alguna pista?

Answer 1

Sea $\alpha\colon I \to \mathbb{R}^3$ sea una parametrización de velocidad unitaria de la curva regular. La línea tangente en un punto $\alpha(s)$ es $\lambda \mapsto \alpha(s)+\lambda T(s)$ . Toda tangente interseca la línea fija $l$ por lo que para cada $s\in I$ hay un $\lambda(s)$ tal que $$ \beta(s) = \alpha(s) + \lambda(s) T(s) $$ mentiras sobre $l$ . En un punto $s_0\in I$ pueden darse tres casos:

Caso 1: $\beta$ es regular en un barrio abierto alrededor de $s_0$ . Es decir $\beta$ parametriza (un trozo de) la línea $l$ . Demostrar que $\alpha$ yace en un plano. Este es el caso genérico.

Caso 2: $\beta$ no es regular en un vecindario abierto alrededor de $s_0$ es decir $\beta(s)$ es un punto. En este caso se puede demostrar que $\alpha$ es una curva plana particular.

Caso 3: $\beta'(s_0)=0$ sólo en $s_0$ . No es necesario demostrar nada en este caso, pero usted debe ser consciente de estos puntos pueden ocurrir.

Después de considerar estos casos has demostrado que la curva está formada a trozos por curvas planas. Debes argumentar por qué toda la curva se encuentra en el mismo plano.