Curva en el espacio tridimensional tiene tangente siempre intersecando una línea fija, entonces la curva es planar

Question

Esta es una vieja pregunta de examen con la que no sé cómo comenzar.

Sea $\alpha$ una curva regular en $\mathbb{R}^2$. Demuestra que si cualquier recta tangente a $\alpha$ intersecta una recta fija $l\in\mathbb{R}^3$, entonces $\alpha$ es plana.

Mi primer problema es cómo usar realmente la suposición principal. Quiero expresar algebraicamente la condición de que estas dos rectas se intersequen para derivar que la torsión es $0$. Parametrizo $l = a + b t$, pero luego no sé cómo obtener una expresión para diferenciar (o manipular) que caracterice la suposición de que la tangente y $l$ se intersecan. ¿Algún consejo?

Answer 1

Sea $\alpha\colon I \to \mathbb{R}^3$ una parametrización de velocidad unitaria de la curva regular. La recta tangente en un punto $\alpha(s)$ es $\lambda \mapsto \alpha(s)+\lambda T(s)$. Cada tangente interseca la recta fija $l$, así que para cada $s\in I$ hay un $\lambda(s)$ tal que $$ \beta(s) = \alpha(s) + \lambda(s) T(s) $$ se encuentra en $l$. En un punto $s_0\in I$ pueden ocurrir tres casos:

Caso 1: $\beta$ es regular en un entorno abierto alrededor de $s_0$. Esto significa que $\beta$ parametriza (una parte de) la línea $l$. Demuestra que $\alpha$ yace en un plano. Este es el caso genérico.

Caso 2: $\beta$ es no regular en un entorno abierto alrededor de $s_0$, es decir, $\beta(s)$ es un punto. En este caso puedes demostrar que $\alpha$ es una curva plana particular.

Caso 3: $\beta'(s_0)=0$ solo en $s_0$. No es necesario demostrar nada en este caso, pero debes tener en cuenta que estos puntos pueden ocurrir.

Después de considerar estos casos has demostrado que la curva consiste en tramos de curvas planas. Debes dar un argumento de por qué toda la curva yace en el mismo plano.