Una sencilla ecuación diferencial de segundo orden

Question

Cuando intento resolver la ecuación: \begin{equation} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=-k^2\psi \end{equation}

Me dan una solución en forma de:

\begin{equation} \psi=Ae^{-ikx} +Be^{ikx} \end{equation}

que creo que es correcto, pero a menudo veo la respuesta escrita como: \begin{equation} \psi=Asin(kx)+Bcos(kx) \end{equation}

que creo que se obtiene utilizando la fórmula de Euler, pero me parece que si ese es el caso, entonces los términos de pecado se cancelarían. ¿Puede alguien explicar cómo ir de la primera forma a la segunda.

Answer 1

Sea $$\psi=Ae^{-ikx} +Be^{ikx}=A\Big(\cos(kx)-i\sin(kx)\Big)+B\Big(\cos(kx)+i\sin(kx)\Big)$$ Ahora amplíe y agrupe los $\sin(kx)$ y el $\cos(kx)$ .

Así que $$\psi=(A+B)\cos(kx)+i(B-A)\sin(kx)=C \cos(kx)+D\sin(kx)$$ En las dos expresiones que has escrito, $A$ no es más $A$ y $B$ no es más $B$ .