Congruencias mod primos en extensiones de Galois

Question

Me encuentro en la siguiente situación $m,n$ sean números enteros tales que $m|n$ y que $\zeta_m$ , $\zeta_n$ denotan primitivo $m$ y $n$ raíces de la unidad. Entonces tenemos la inclusión de campos

$$\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\zeta_m) \subset \mathbb{Q}(\zeta_n)$$ Supongamos ahora que también tenemos primos (donde $(p,n)=1$ ) $$(p)\subset \mathbb{Z}$$ y luego $$\mathfrak{p}\subset \mathbb{Z}(\zeta_m)$$ tumbado $(p)$ y $$\mathfrak{P}\subset \mathbb{Z}(\zeta_n)$$ tumbado $\mathfrak{p}$ .

Tengo una congruencia en $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ de la forma $a\equiv b \pmod{\mathfrak{P}}$ donde $a,b$ son en realidad elementos de $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ .

¿Qué puedo decir sobre las propiedades de congruencia de $a,b$ en $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ ? Además, si bajo la traza o la norma a $\mathbb{Q}$ ¿puedo decir algo sobre sus propiedades de congruencia?

Gracias.

Answer 1

Si $\mathcal{A}_m$ es el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ entonces $\mathfrak{B} \cap \mathcal{A}_m = \mathfrak{p}$ .

Tú dices $a \equiv b \pmod{\mathfrak{B}}$ donde $a,b \in \mathbb{Q}(\zeta_m)$ . ¿Significa esto que $a,b$ son números enteros algebraicos (en $\mathcal{A}_m$ )? Si no, debe significar que hay algún denominador $d \in \mathcal{A}_m$ , $d \notin \mathfrak{B}$ tal que $d(a-b) \in \mathfrak{B}$ . (Al igual que podríamos decir $\frac{2}{3} \equiv \frac{7}{3} \pmod{5}$ .)

En cualquier caso, el hecho anterior nos da $a \equiv b \pmod{\mathfrak{p}}$ .

No creo que se pueda relacionar Norm(a) con Norm(b) o Trace(a) con Trace(b) modulo (p). Consideremos $1 \equiv 2i \pmod{(1-2i)}$ en los enteros de Gauss $\mathbb{Z}[i]$ . Tomar norma o traza no nos da nada modulo (5).

No obstante, podemos utilizar $\mathfrak{p} \cap \mathbb{Z} = (p)$ decir que ${\rm Norm}(a-b) \in (p)$ si $a,b$ son enteros algebraicos. Sin embargo, si tenemos algún denominador $d \in \mathfrak{p}'$ donde $\mathfrak{p}'$ es un ideal conjugado de $\mathfrak{p}$ entonces la norma nos dará poderes de $p$ en el numerador y el denominador, así que tenemos que tener más cuidado.