Demostrar que cualquier número racional puede representarse como la suma de los cubos de tres números racionales.

Question

Encontré la siguiente pregunta en un libro:

Demuestra que cualquier número entero puede representarse como la suma de cada cubo de cinco números enteros.

La respuesta : $$n=n^3+\left[-\frac{(n-1)n(n+1)}{6}-1\right]^3+\left[-\frac{(n-1)n(n+1)}{6}-1\right]^3+\left[\frac{(n-1)n(n+1)}{6}\right]^3+\left[\frac{(n-1)n(n+1)}{6}\right]^3.$$

Este libro dice: "Se sabe que cualquier número racional puede representarse como la suma de cada cubo de tres números racionales" sin ninguna información adicional. He intentado demostrar esto, pero me encuentro con dificultades. Entonces, aquí está mi pregunta.

Pregunta : ¿Podrías mostrarme cómo demostrar que cualquier número racional puede representarse como la suma de cada cubo de tres números racionales?

Necesito tu ayuda.

Answer 1

A modo de resumen, lo que se sabe es que para cualquier racional distinto de cero $N$ entonces

$$x_1^3+x_2^3+x_{\color{blue}3}^3 = N$$

$$y_1^5+y_2^5+\dots+y_{\color{blue}6}^5 = N$$

$$z_1^7+z_2^7+z_3^7+\dots+z_{\color{blue}8}^7 = N$$

donde las variables son racionales. El caso $p=3$ es de Ryley, mientras que $p=5,7$ es de Choudhry.

Dado que el enlace dado en la otra respuesta ha caducado, podemos proporcionar una identidad explícita,

$$(27m^3-n^9)^3 + (-27m^3+9mn^6+n^9)^3 + (27m^2n^3+9mn^6)^3 = m(27m^2n^2 +9mn^5+3n^8)^3$$

que es una versión más sencilla de Robert Israel . Los casos $p=5,7$ (y otros) se discuten como problemas tipo Waring aquí También hay un debate detallado sobre la curva elíptica implicados para $p=7$ en este Puesto EMV .

Answer 2

Teorema (Ryley 1825) Todo número racional $R$ puede representarse como la suma de tres cubos racionales: $$ R=x^3+y^3+z^3. $$ Se puede encontrar una breve prueba en el artículo de Richmond (1930) aquí .