¿Qué función desempeña $\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n3^n}$ representan, evaluado en algún número $x$ ?

Question

Necesito saber cuál es la función $$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n3^n}$$ representa evaluado en un punto determinado.

Por ejemplo, si la serie dada fuera $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{3^n}{n!}$$ la respuesta sería $e^x$ evaluado en $3$ .

Sí, esto son deberes, pero no estoy buscando limosnas, cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Sea $f(x)=\sum_1^{\infty}{1\over nx^n}$ ; tienes $f(3)$ así que quieres saber qué $f(x)$ es. Diferéncielo.

Answer 2

Toma $f(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$ .

Entonces,

$f^\prime (x) = \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n x^{n-1}}{n} = \sum_{n=0}^\infty x^n$ .

La última expresión es una serie geométrica y, siempre que $x < 1$ se puede expresar como

$f^\prime (x) = \displaystyle \frac{1}{1-x}$ .

Por lo tanto,

$f(x) = - \ln | 1 - x | + \kappa$

Dónde $\kappa$ es una constante. Pero si se toma la expresión original para $f(x)$ se puede ver que $f(0) = 0$ y, por lo tanto, $\kappa = 0$ .

Así que $f(x) = -\ln | 1 - x |$ .

La respuesta a su pregunta es $f \left(\frac{1}{3} \right)$ .

También se puede obtener este resultado mediante la expansión de Taylor $\ln ( 1 - x )$ .

Answer 3

Tenemos $ \displaystyle -\ln(1-x) = \sum_{n \geq 1 } \frac{x^n}{n} $ por curso para $|x|<1$
Así que esto es simplemente $f(x)=-ln(1-x) $ evaluado en $x=\frac{1}{3}$
Lo que da el valor : $-\ln(1-\frac{1}{3})=\ln(\frac{3}{2})$