Sea $z_1$ y $z_2$ sean las raíces de $az^2+bz+c=0;\,a,b,c\in \mathbb{C}, a\ne 0$ y $w_1,w_2$ sean raíces de $(a+\bar{c})z^2+(b+\bar{b})z+(\bar{a}+c)=0$

Question

Sea $z_1$ y $z_2$ sean las raíces de $az^2+bz+c=0;\,\,a,b,c\in \mathbb{C}, a\ne 0$ y $w_1,w_2$ sean raíces de $(a+\overline{c})z^2+(b+\overline{b})z+(\overline{a}+c)=0$ . Si $|z_1|<1,|z_2|<1$ demuestre que $|w_1|=|w_2|=1$

Mi progreso:

Podemos ver que siempre que $z$ es una raíz de $(a+\overline{c})z^2+(b+\overline{b})z+(\overline{a}+c)=0,\,\, \frac{1}{\overline{z}}$ también es una raíz.

Caso 1: $w_1=\frac{1}{\overline{w_1}}$ y $w_2=\frac{1}{\overline{w_2}}$

$\implies |w_1|=|w_2|=1$

Caso 2: $w_1=\frac{1}{\overline{w_2}}$ y $w_2=\frac{1}{\overline{w_1}}$

$\implies w_1\overline {w_2}=1$

Answer 1

En el peor de los casos, se puede basurear esto. Deja que $a+\overline{c} = t$ y $b+\overline{b} = 2s$ con $s$ real. Entonces tu cuadrática es: $$tw^2+2sw+\overline{t} = 0\implies w_{1,2} = \dfrac{-s\pm\sqrt{s^2-|t|^2}}{t}.$$ Ahora, observa que la entrada dentro de la raíz cuadrada en el discriminante es real. Esto significa que cuando se calcula la norma del numerador de $w_1$ (con la opción del signo más en el centro): $$\left|-s+\sqrt{s^2-|t|^2}\right|^2 = (-s+\sqrt{s^2-|t|^2})(-s-\sqrt{s^2-|t|^2}) = |t|^2$$ y así $|w_1| = 1.$ Puede hacer lo mismo para $|w_2| = 1.$

La observación clave aquí es que $s$ es real y también lo es $s^2-|t|^2,$ lo que nos permite calcular la norma al cuadrado como ella misma por su conjugado. Por último, $|z_1|, |z_2| < 1$ garantiza $t\neq 0$ de Vieta.