Sea $0 \lt p\le a,b,c,d,e\le q$ . Demostrar que $$(a+b+c+d+e)\left(\frac 1a + \frac 1b +\frac 1c+\frac 1d+\frac 1e\right)\le 25+6\left(\sqrt {\frac pq}-\sqrt {\frac qp}\right)^2 $$ En la solución utilizan el hecho de que $f(a,b,c,d,e)$ es convexa en todas las variables. Por lo tanto el máximo se produce cuando las variables están en uno de los 32 vértices de un cubo de 5 lo que implica que en el máximo algunas de las variables son p's y las otras son q's. Podría alguien darme una demostración más sencilla sin usar ese concepto, ya que no lo entiendo... o podría compartir un enlace explicando el concepto en detalle.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Consideremos la variable $a$ por un momento. Si pensamos en arreglar todo lo demás y cambiar $a$ la parte izquierda tiene el aspecto siguiente $$ f(a) = (a + x)\left(\frac{1}{a} + y\right) = 1 + \frac{x}{a} + ay + xy$$ así que $$ f'(a) = y - \frac{x}{a^2}$$ y $$ f''(a) = \frac{2x}{a^3} > 0,$$ lo que significa que la función es convexa en $a$ . Lo que esto significa es que parece una parte de la parábola $y = x^2$ en que tiene una especie de forma de U ascendente. Y si piensas en una U ascendente, o en cualquier subsección de una U ascendente, verás que lo más alto que llega es a uno de los extremos de la subsección. Aunque eso es heurístico, es cierto en general para las funciones convexas.
La segunda derivada es positiva en cada una de las variables, independientemente de los valores de las otras variables (siempre que cada una sea positiva, que lo son por suposición). El cálculo es exactamente el mismo. Como es convexa en cada una de las variables, esto reduce su consideración a la $32$ posibilidades en los puntos finales, como habías mencionado.
¿Tiene sentido?
