La función de Cantor-Lebesgue es un ejemplo de función creciente cuya derivada (cuando existe) es $0$ . Pero, ¿es cierto lo siguiente?
Sea $f$ es una función continua sobre un conjunto compacto, $K \subset \mathbb{R}$ . Supongamos que $f'$ existe y $f'>0$ en un subconjunto denso de $K$ entonces $f$ está aumentando.
¿Hay alguna diferencia si $K$ ¿es un intervalo o no?
Función interrogante de Minkowski es una función continua estrictamente creciente $?$ en $[0,1]$ con $?(0)=0$ y $?(1)=1$ cuya derivada existe y es $0$ en los racionales. Así, $f(x) = x - ?(x)$ es una función continua cuya derivada es $+1$ en un subconjunto denso de $[0,1]$ pero $f(1) = f(0)=0$ así que $f$ no aumenta.
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