Límite de una secuencia dentro de un logaritmo

Question

Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sea una secuencia de números reales.

(1) Supongamos que $x_n>-1 \space \space \forall \space n \in \mathbb{N}$ y $x_n \to 0$ como $n \to \infty$ demuestre que $\log(x_n+1) \to 0$ como $n \to \infty$ .

(2) Supongamos que $x_n>0 \space \space \forall \space n \in \mathbb{N}$ y $x_n \to x>0$ como $n \to \infty$ demuestre que $\log(x_n) \to \log(x)$ como $n \to \infty$ .

He conseguido hacer el primero pero no estoy seguro de cómo hacer el segundo. Un método similar no parecía aplicable.

En esta pregunta, $\log(x)=y$ donde $y$ es el único número real con $\exp(y)=x$ . En $\exp(x)$ es el límite de $(1+x/n)^n$ como $n$ tiende al infinito.

El método que he utilizado hasta ahora implica la desigualdad $1+x\leq e^x \leq 1/(1-x) \space \space \forall \space x <1$ .

Answer 1

Si ha demostrado que $\ln\left(\frac{x}{y}\right)=\ln(x)-\ln(y)$ para $x$ , $y>0$ entonces la prueba es bastante fácil. Necesitaremos el siguiente resultado:

Lema : Si $a_n$ es cualquier secuencia positiva que cumpla $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=1$ entonces $\lim\limits_{n\to\infty}\ln(a_n)=0$ .

Esto se deduce de (1). Si $\lim_{n\to\infty}a_n=1$ entonces $\lim_{n\to\infty}(a_n-1)=0$ así que por (1) tenemos que $\lim_{n\to\infty}\ln(a_n-1+1)=0$ . Esto equivale a $\lim_{n\to\infty}\ln(a_n)=0$ así que hemos terminado.

Una vez establecido esto, consideremos ahora la secuencia $x_n$ . Se dio que $\lim_{n\to\infty}x_n=x>0$ Así que $\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{x}=1$ . De nuestro lema se deduce que $\lim_{n\to\infty}\ln\left(\frac{x_n}{x}\right)=0$ Así que

$$\lim_{n\to\infty}\left[\ln(x_n)-\ln(x)\right]=0$$

Así,

$$\lim_{n\to\infty}\ln(x_n)=\ln(x)$$