Demostrar que $\lim\limits_{r \to\infty} \int_1^{r-1} \int_1^{r-y} \frac{\sin x}{x^4+y^4} dx dy$ es finito

Question

Demostrar que $\lim\limits_{r \to\infty} \int_1^{r-1} \int_1^{r-y} \frac{\sin x}{x^4+y^4} dx dy$ existe (y es finito).

Pude demostrar que $\int_1^{r-y} \frac{\sin x}{x^4+y^4}dxdy$ converge cuando $r\to\infty$ pero eso no ayudó. También intenté utilizar el hecho de que $|\int_{1}^{r-1}\frac{\sin x}{x^4+y^4}dxdy|\leq \int_1^{r-1} \int_1^{r-y} \frac{dxdy}{x^4+y^4}$ , pero eso no dice nada por lo que tengo entendido.

Así que básicamente no tengo ni idea. Una pista, por favor.

Answer 1

SUGERENCIA: La desigualdad AM-GM da

$$x^4+y^4\ge 2x^2y^2$$