Densidad de $H^1$ funciones con gradiente acotado

Question

He estado trabajando en un problema de EDP y me encontré con la necesidad de trabajar con funciones con gradiente acotado. Sin embargo, como estoy trabajando con semigrupos, necesito densidad del dominio del candidato a generador. Así que mi pregunta es: para un fijo $C>0$ es el conjunto $$X = \left\{f \in H^1(0,1); f(1) = 0 \ \mbox{and} \ |f_x(x)| \leqslant C \ \mbox{for all } x \in (0,1)\right\}$$ denso en $L^2(0,1)$ con el $L^2$ --¿normal?

Cualquier pista sobre cómo probar o refutar esto sería muy apreciada.

Answer 1

El punto de lisyarus golpea cerca de casa. Para casi todos los $x \in [0, 1]$ y cualquier $f \in X$ que tenemos: $$ \lvert f(x) \rvert = \lvert f(x) - 0 \rvert = \lvert f(x) - f(1) \rvert = \left \lvert \int^1_x f_x(s)~\mathrm{d}s \right \rvert \leq \lvert x -1 \rvert C\leq C $$ Supongamos que existe una secuencia $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq X$ para aproximar $g(x) := C+1$ sur $L^2$ . Sabemos que existe una subsecuencia $g_{m_n}$ de $g_n$ que converge puntualmente a.e. a $g$ .

De hecho, para casi todos los $x$ : $$ C\geq \lvert g_{m_n}(x) \rvert \rightarrow \lvert g(x) \rvert = C+1 $$ Así que $C \geq C+1$ que es una tontería.

Esto significa que $X$ no es denso.