Supongamos que $r\lt1$ . Demostrar que la serie $\sum x_n$ es convergente.

Question

Sea $x_n$ sea una secuencia en $\mathbb R$ y supongamos $r = \lim_{n\rightarrow\infty} \root {n} \of {|x_n|}$ ¡existe!

Supongamos que $r\lt1$ . Demostrar que la serie $\sum x_n$ es convergente.

Me cuesta arrancar con esta pregunta, las preguntas de seguimiento incluyen "¿qué pasaría si ? $r > 1$ , $r = 0$ ', pero después de recibir ayuda con este debería ser capaz de cogerlo.

Mi trabajo hasta ahora:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}|x_n| \le \lim_{n\rightarrow\infty}(|x_n|)^{\frac{1}{n}}\lt 1$$

Intuitivamente, esto significa para mí $\lim_{n\rightarrow\infty}|x_n| = 0$ desde $r^n \rightarrow 0$ como $n\rightarrow \infty$ . Pero esto simplemente no muestra nada cuando se trata de la convergencia de las series de $x_n$ .

Agradecemos cualquier orientación.

Answer 1

¡Tu intuición está muy cerca! Desde $r<1$ podemos elegir un número $R$ con $r<R<1$ . Ahora porque $\sqrt{|a_n|}\to r$ ¿puede demostrar que existe un $N$ tal que $\sqrt{|a_n|}<R$ para todos $n>N$ ?

Veamos cómo utilizarlo.

Tenemos $$ \sum_{n\geq1}|a_n|=\sum_{n=1}^N|a_n|+\sum_{n\geq N+1}|a_n|. $$ Ahora, la primera parte de la derecha es una suma finita. Para la segunda parte, sabemos que $\sqrt{|a_n|}<R$ Así que $|a_n|<R^n$ . ¿Se te ocurre alguna prueba a la que podamos aplicar esta comparación para demostrar que la suma de la derecha también es finita?

Answer 2

Nota, claramente $0\le r$ . Por $r \lt 1$ sabemos que existe $R \in (r,1)$ tal que $0\le r \lt R \lt 1$ . Ahora elija $\epsilon = R - r$ entonces, por hipótesis, existe un $N$ tal que $\forall n \ge N$ que tenemos:

$$|\root n\of{|x_n|} - r| \le R - r$$

Por lo tanto $|\root n\of{|x_n|}| \le R$ para todos $n \ge N$ (Desigualdad triangular). Aviso; $0 \le \root n\of{|x_n|} \le R$ y lo genial es que esto es equivalente a:

$0 \le |x_n| \le R^n$ y $\sum R^n$ converge (geométrica y $R \lt 1$ ), por lo que en comparación $\sum |x_n|$ ¡converge!