Uso de series de potencias en el contexto de la ecuación diferencial de bernoulli

Question

Un ejercicio me pedía que mostrara primero cómo reducir $$x'=f(t)x+g(t)x^\alpha$$ a una ecuación diferencial lineal $z'=(1-\alpha)(f(t)z+g(t))$ . Luego, como ejemplo, me pedía que utilizara este concepto para resolver el caso $f(t)=-t, g(t)=t, \alpha=3$ . Por lo tanto, considero $$z'=2tz-2t,$$ y, gracias a una pista, que $$z(t)=\sum_{n=0}^\infty a_n t^n.$$

¿Por qué es ventajoso?

Ahora, me las arreglé para mostrar $a_1=0$ , $a_2=a_0-1$ y $a_{n+1}=\frac{2a_{n-1}}{n+1}$ Eso es, $a_n=0$ para $n$ impar, y $a_n=\frac{a_0-1}{(n/2+1)!}$ para $n$ incluso. ¿Me equivoco? El resultado está cerca de la serie de potencias sinusoidales, así que, tengo algunas dudas. Y, si no, ¿he terminado?

Gracias de antemano.

Answer 1

La ecuación $z'=2\,t\,z-2\,t$ es lineal. Seguro que has visto métodos para resolverlo. Uno de ellos es multiplicar por el factor integrador $e^{-t^2}$ para obtener $$ \bigl(e^{-t^2}\,z\bigr)'=-2\,t\,e^{-t^2}. $$