Sea G ser un grupo topológico y deje $s_1$ $s_2$ ser bucles en G (ambos bucles están basados en la identidad e de G). Es cierto que el bucle $s_1s_2$ (donde la multiplicación es el de la estructura de grupo de G) es igual, en $\pi_1(G,e)$, para el bucle de $s_1*s_2$ donde este producto está dado por el primero en ir alrededor de $s_1$ y, a continuación, $s_2$ (es decir, ¿tenemos $[s_1s_2] = [s_1*s_2]$)? Si sí, ¿cuál es la prueba de ello?
Respuestas
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Grzenio
Puntos
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En lugar de utilizar el Eckmann-Hilton argumento de manera abstracta, puede hacerlo explícito, de la siguiente manera:
Podemos volver a parametrizar el bucle $s_1$ a ser constante (e igual al elemento neutro) en $[1/2,1]$ $s_2$ a ser constante en $[0,1/2]$. A continuación, $[s_1 \ast s_2] = [s_1 s_2]$ y desde $s_1s_2 = s_2s_1$ también conseguimos que el grupo fundamental es abelian.
