Supongamos que $f: \mathbb R \to \mathbb R$ es continua en $\mathbb R$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)=0=\lim_{x \to -\infty} f(x)$

Question

Supongamos que $f: \mathbb R \to \mathbb R$ es continua en $\mathbb R$ y $$\lim_{x \to +\infty} f(x)=0=\lim_{x \to -\infty} f(x)$$

Demuestra que $f$ está limitada en $\mathbb R$ y alcanza su máximo o su mínimo en $\mathbb R$ .

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$$\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$$ $$\iff \forall \epsilon >0(\exists a \in \mathbb R(\forall x(x> a \implies \left|f\left(x\right)\right|<\epsilon)))$$

Y $$\lim_{x \to -\infty} f(x)=0$$ $$\iff \forall \epsilon >0(\exists b \in \mathbb R(\forall x(x< b \implies \left|f\left(x\right)\right|<\epsilon)))$$

Ahora bien, si para todos $x \in \mathbb R:f(x)=0$ entonces hemos terminado, de lo contrario somos capaces de encontrar un $c \in \mathbb R$ tal que $f(c) \ne 0$ y ajuste $\epsilon \mapsto \left|f\left(c\right)\right|$ se deduce que existe $a<x<b$ tal que $\left|f\left(x\right)\right|<\left|f\left(c\right)\right|$ .

Por otra parte, la continuidad de $f$ en $\mathbb R$ implica la continuidad de $f$ en $[a,b]$ y por el teorema del valor extremo $f$ alcanza su máximo y mínimo .( No entiendo por qué la pregunta dice o )

Pero sólo sé que para $x \in [a,b]$ la función $f$ está acotado y no es suficiente, ya que el dominio de $f$ no es $[a,b]$ y necesito mostrar que para todos los reales $x$ la función está acotada.

Además quiero saber la validez de mi prueba sobre la parte max-min.

Answer 1

Permítame copiar y modificar su argumento. El punto incorrecto en su argumento es afirmar que $a<b$ , debería ser $b<a$ ¡!

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Sabemos que \begin{align} \lim_{x \to +\infty} f(x)=0 \iff \forall \epsilon >0(\exists a >0 (\forall x\in \mathbb R (x> a \implies \left|f\left(x\right)\right|<\epsilon))) \end{align} y \begin{align} \lim_{x \to -\infty} f(x)=0 \iff \forall \epsilon >0(\exists b<0 (\forall x\in \mathbb R (x<b \implies \left|f\left(x\right)\right|<\epsilon))). \end{align}

Si $f(x)=0, \forall x\in \mathbb R$ entonces hemos terminado. Si no, podemos encontrar un $c\in \mathbb R$ tal que $f(c)\neq 0$ y ajuste $\epsilon:=|f(c)|$ .

Por lo tanto, concluimos que para $x\in (-\infty, b)\cup(a,+\infty)$ tenemos $|f(x)|<\epsilon$ .

Por otra parte, la continuidad de $f$ en $\mathbb R$ implica la continuidad de $f$ en $[a,b]$ y por el teorema del valor extremo $f$ alcanza su máximo $M_{\text{max}}$ y mínimo $M_{\text{min}}$ en $[a,b]$ y, por tanto, limitada en $[a,b]$ .

Por lo tanto $f$ está limitada en $\mathbb R$ .

En cuanto al máximo y el mínimo de $f$ en $\mathbb R$ consideramos los siguientes casos

• Si $M_{\text{max}}>\epsilon$ entonces $M_{\text{max}}$ es un valor máximo de $f$ en $\mathbb R$ .
• Si $M_{\text{min}}<-\epsilon$ entonces $M_{\text{min}}$ es un valor mínimo de $f$ en $\mathbb R$ .
• Por lo demás, $-\epsilon\leq M_{\text{min}} \leq M_{\text{max}}\leq \epsilon$ entonces $f(c)$ es un máximo si $f(c)>0$ y $f(c)$ es un mínimo si $f(c)<0$ .

Ahora, podemos concluir que $f$ alcanza su máximo o su mínimo en $\mathbb R$ .

Answer 2

A veces sólo hay uno de max y min. Por ejemplo $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ que responde a su pregunta sobre "y" / "o".
Además tu argumentación no funciona: Todo intervalo finito tiene ambos extremos, pero la mayoría están en $a$ y $b$ . Ahora tenemos el problema, porque nuestro intervalo es infinito y no se puede aproximar suficientemente bien mediante intervalos finitos.