PDE $ u_{x}+u_{t}+f(x)*u=0$

Question

¿Cómo resolvería este pde utilizando la línea característica?
$u_{x}+u_{t}+f(x)u=0$ ---función arbitraria f
$u(x,0)=u_{0}(x)$ --- $u_{0}$ puede ser cualquier valor
$u(0,t)=\varphi(t)$ ---no homogéneo
donde
$u(x,t)\ge 0,\,\,\,\,0\le x\le l,\,\,\,\,t\ge 0$

¡Gracias!

Answer 1

Supongamos que $x=x(t)$ es una línea característica. Entonces $\frac{du}{dt} = u_x x' + u_t$ . Concluimos $x'(t) = 1$ -- las curvas características son $x=t+x_0$ . Sin embargo, $u$ no es constante a lo largo de la característica, sino que varía de forma predecible. De hecho, $u'+f(t+x_0)u=0$ es una EDO de fácil solución para $u(t)\equiv u(x(t),t)$ dado que sabemos $f(x)$ .