En $L^p(\mathbb{R}^+)$ consideramos el siguiente operador: $$ Af:= f'',\qquad D(A):=\{u\in W^{2,p}(\mathbb{R}^+),u'(0)=0\} $$ Ahora quiero saber si este operador es generador de un semigrupo analítico positivo de contracciones. ¿Puede alguien darme una pista o referencias sobre esta cuestión? Gracias de antemano.
Respuesta
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Puede comprobar directamente que $A$ dispersivo y que el rango numérico está en una línea media, es decir, $$\langle Af,f^+\rangle \leq 0$$ es válido para $f\in D(A)$ . Hay que utilizar la integración por partes y el hecho de que $W^{1,2}$ es una red. Véase, por ejemplo, el capítulo 11.3 de
Bátkai, András; Kramar Fijavž, Marjeta; Rhandi, Abdelaziz , Semigrupos de operadores positivos. De dimensiones finitas a infinitas , ZBL06695787 .
Sólo hay que comprobar entonces que el resolvente no es vacío, pero esto es sólo resolver una simple oda.
En realidad, como se puede escribir directamente el resolvente para este operador, también se pueden comprobar directamente las estimaciones de Hille-Yosida, pero es más trabajo.
