Acción transitiva

Question

Un grupo $G$ actúa sobre un conjunto no vacío $X$ . Supongamos que $H$ es un subgrupo de $G$ y $H$ actúa transitivamente sobre $X$ . En una prueba, un autor afirma:

Si $H$ actúa transitivamente sobre $X$ entonces, obviamente $G$ actúa transitivamente sobre $X$ .

Pero, ¿por qué? No veo esto.

Otra cosa que se dice es: Fijar $x \in X$ . Para $g \in G$ , $gx=hx$ para algunos $h \in H$ Así que $h^{-1}g \in \text{Stab}_x$ .

Mi pregunta se refiere a esto: ¿Por qué $gx=hx$ y por qué podemos insinuar $h^{-1}g \in \text{Stab}_x$ ? Pensé, multiplicando con $h^{-1}$ sólo se permite en grupos y $gx,\ hx$ no son elementos del grupo.

Answer 1

Transitivamente significa que para $x,y\in X$ existe $h\in H$ con $h.x=y$ , $h\in H\subset G$ Así que $h\in G$ y $G$ actúa de forma transitoria.

$Stab_x=\{g:g.x=x\}$ , $h.x=g.x$ implica que $h^{-1}(h.x)=h^{-1}.(g.x)$ esto es, a $h^{-1}g.x=x$ .

Answer 2

Para la primera pregunta, esto viene directamente de la definición de una acción de grupo transitiva.

Segundo, $gx \in X$ y como $H$ actúa transitivamente sobre $X$ hay algunos $h \in H$ tal que $gx = hx$ . Recuerde la definición de una acción de grupo- tenemos para cada $g_1, g_2 \in G$ y $x \in X$ , $g_1 * (g_2 * x) = (g_1g_2) * x$ y $e * x = x$ . Así que si $g*x = h*x$ , $$h^{-1}*(g*x) = h^{-1}*(h*x) \Rightarrow (h^{-1}g)*x = (h^{-1}h)*x = x$$ Así, $h^{-1}g \in \text{Stab}_x$

Editar: Aquí, $*$ denota la acción de grupo de $G$ en $X$ . He utilizado $*$ para que podamos ver explícitamente lo que está pasando.

Answer 3

Responderé primero a la última pregunta. En $G$ actúa sobre $X$ significa que cada $g \in G$ determina una función a partir de $X$ a sí misma. En lugar de dar a esa función un nuevo nombre, la llamamos " $g$ "y escribir su acción como $g(x)$ y luego quizás omitir el paréntesis, para $gx$ no significa $g \times x$ en el grupo, o en cualquier otro lugar.

Entonces tiene sentido hablar de $$h^{-1}gx = h^{-1}(g(x)) = h^{-1}(h(x)) = h^{-1} h(x)) = x$$ así que $h^{-1}g$ fija $x$ .

Ya hay varias respuestas a las dos primeras preguntas. Aquí están las mías.

Mostrar $G$ actúa transitivamente, dado $x$ y $y$ tienes que encontrar un $g$ que envía $x$ a $y$ . Pero te dicen que puedes encontrar uno en $H$ y $H$ es un subconjunto de $G$ .

La "otra cosa": para cualquier $g$ y cualquier $x$ . $gx$ es algún elemento de $H$ . Desde $H$ actúa transitivamente, hay algún elemento $h \in H$ que envía $x$ a $gx$ .