Método para simplificar esta larga expresión

Question

¿Cómo puedo simplificar esta larga expresión?

$-a^3(d-b)(d-c)(c-b)+b^3(d-a)(d-c)(c-a)-c^3(d-a)(d-b)(b-a)+d^3(c-a)(b-a)(c-b)$

Sé que es igual a $(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)$ pero no tengo ni idea de cómo llegar a ella

Mi opción actual es ampliar la expresión a algo como esto:

$bc^2d^3-ac^2d^3-b^2cd^3+a^2cd^3+ab^2d^3-a^2bd^3-bc^3d^2+ac^3d^2+b^3cd^2-a^3cd^2-ab^3d^2+a^3bd^2+b^2c^3d-a^2c^3d-b^3c^2d+a^3c^2d+a^2b^3d-a^3b^2d-ab^2c^3+a^2bc^3+ab^3c^2-a^3bc^2-a^2b^3c+a^3b^2c$

Pero algo así llevará mucho tiempo y además todavía no es tan fácil simplificarlo.

Creo que la solución está relacionada con el hecho de que algunas partes de los resultados ya están en la expresión inicial, pero no sé cómo continuar a partir de ahí.

Gracias

Answer 1

Pista: La expresión es igual a cero cuando dos cualquiera de los parámetros $a,b,c,d$ son iguales. ¿Puedes utilizar esto, el teorema del resto y los grados de la expresión para obtener un resultado?

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Teorema del resto : Si $f(x)$ es un polinomio y $f(a) = 0$ entonces $x-a \mid f$ .

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Una pista más grande:

Considera tu expresión como un polinomio $f$ en $a$ . Demuestre que $$f(b)=f(c ) = f(d) = 0.$$ Esto le indica que $(a-b)(a-c)(a-d)$ divide tu expresión. Ahora ve tu expresión como un polinomio en $b$ , $c$ , $d$ para el resto de factores.