Demostrar la corrección de la definición alternativa de derivada

Question

Sabemos que la derivada existe como $f'(x)=\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ . Utilizando esto, ¿cómo podemos demostrar que es $f'(x)=\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x)-f(x-h)}{h}$ ¿también? Probé la definición del límite: Si existe, los dos límites unilaterales existen y son iguales a él también. $$f'(x)=\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0^+}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h \to 0^-}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ Creo que esto debería conducir fácilmente a la prueba, pero de alguna manera me lo estoy perdiendo.

Answer 1

Tomemos $k=-h$ $$\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{k \to 0}\dfrac{f(x-k)-f(x)}{-k} =\lim_{k \to 0}\dfrac{f(x)-f(x-k)}{k}$$ Pero k es solo un nombre varibable puedes sustituirlo por h ahora.