¿Qué paso es incorrecto en esta prueba?

Question

Prueba: Consideremos la ecuación cuadrática $x^2+x+1=0$ . Entonces, podemos ver que $x^2=x1$ . Suponiendo que $x$ no es cero (que claramente no lo es, por la ecuación) podemos dividir por $x$ t $$x=1\frac{1}{x}$$ Sustituye esto de nuevo en el $x$ término en medio del or $$x^2+(1\frac{1}{x})+1=0$$ T $$x^2=\frac{1}{x}$$ Así que.., $x^3=1$ Así que $x=1$ es la solución. Sustituyendo de nuevo en la ecuación para $x$ g $1^2+1+1=0$

Por lo tanto, $3=0$ .

¿Qué ha pasado?

Answer 1

Hasta $x^3=1$ todo está bien. Esto le permite concluir que $x\in \{z\in \Bbb C\colon z^3=1\}$ . Desde $\{z\in \Bbb C\colon z^3=1\}=\left\{\dfrac{-1 + i\sqrt 3}{2}, \dfrac{-1 - i\sqrt 3}{2},1\right\}$ entonces $x$ es uno de los elementos de este conjunto.

Has hecho un razonamiento de consecuencias lógicas, no de equivalencias lógicas. Por eso se puede decir que $x\in \{z\in \Bbb C\colon z^3=1\}$ pero no puedes decir cuál es.

Véase este por una cuestión similar.

Una versión aún más simple de su error es la siguiente: supongamos que $x^2=1$ entonces $x=1$ .
Puedes convencerte de que esto está mal y de que hiciste lo mismo en tu pregunta.

Answer 2

Lo que has demostrado es que no hay real número $x$ tal que $x^2+x+1=0$ .

Por otra parte, los dos complejo soluciones de $x^2+x+1=0$ satisfacen efectivamente $x^3=1$ .

Answer 3

Si $x^2+x+1=0$ entonces $(x-1)(x^2+x+1)=0$ así $x^3-1=0$ así: $x^3=1$ .

si ... entonces .... no es una equivalencia lógica, sino sólo una implicación lógica.

Answer 4

$x^2+x+1=0$ es una cuadrática. Esto significa que tiene dos respuestas.

$x^3=1$ es un cúbico. Esto significa que tiene tres respuestas. Por lo tanto, si se resuelve para $x$ entonces una de las respuestas que obtengas no se ajustará a la ecuación original.

Esta solución "extraña" resulta ser $x=1$ .