Cómo demostrar que esta función es continua

Question

Intento mostrar la continuidad de la función $$\frac {\ln(1+x^2+y^2)}{x^2+y^2}$$ para $(x,y)\neq 0$ , $$f(x,y)=1$$ para $(x,y)= 0$ , en $\mathbb{R}^2$ Pero no soy capaz. El numerador se me atasca porque no sé cómo evitar la función logarítmica. ¿Cómo puedo simplificar esta expresión o mejor deshacerme del logaritmo? Lo siento por las ediciones descuidadas

Answer 1

SUGERENCIA:

La función tiene una discontinuidad removible en $(0,0)$ desde $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\log (1+x^2+y^2)}{x^2+y^2}=\lim_{z\to 0}\frac{\log (1+z)}{z}=1$ .

Para todos $x^2+y^2\ne 0$ Ver $x^2+y^2$ como una única variable y mostrar la continuidad de $f(z)=\frac{\log (1+z)}{z}$ para $z\ne 0$

Answer 2

Pista: $$ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac {\ln(1+x^2+y^2)}{x^2+y^2}=1 $$

Answer 3

Pista: $$\lim _{ x\rightarrow 0\\ y\rightarrow 0 }{ \frac { \ln { \left( 1+{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } } =\lim _{ x\rightarrow 0\\ y\rightarrow 0 }{ \ln { \left( 1+{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) ^{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } } } } =\ln { e=1 } $$

Answer 4

La función $f(x,y)=\dfrac{\ln(1+x^2+y^2)}{x^2+y^2}$ está definida y es continua en $\mathbf R^2\smallsetminus\{(0,0)\}$ como composición y cociente de funciones continuas (los polinomios y los logaritmos son funciones continuas).

Podemos definir una continuación continua de $f$ en $(0,0)$ porque $f$ tiene un límite en $(0,0)$ . Para verlo, utilice coordenadas polares: set $x=r\cos \theta,\ y=r\sin\theta$ . Entonces para $(x,y)\neq (0,0)$ , $$f(x,y)=\frac{\ln(1+r^2)}{r^2}\xrightarrow[r\to0]{}1. $$ Obtenemos así una función continua sobre $\mathbf R^2$ si fijamos $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(1+x^2+y^2)}{x^2+y^2}&\text{if}\enspace (x,y) \neq (0,0),\\1&\text{if}\enspace (x,y) = (0,0).\end{cases}$$