Resuelve: $3\sin{2x}+4\cos{2x}-2\cos{x}+6\sin{x}-6=0$

Question

Resuelve: $3\sin{2x}+4\cos{2x}-2\cos{x}+6\sin{x}-6=0$

Mi intento

$6\sin{x}\cos{x}+4(\cos^2{x}-\sin^2{x})-2\cos{x}+6\sin{x}-6=0$

He ampliado la ecuación, pero no puedo seguir adelante. Gracias.

Answer 1

$6\sin{x}\cos{x}+4(\cos^2{x}-\sin^2{x})-2\cos{x}+6\sin{x}-6=0$

$6\sin{x}\cos{x} -9\sin^2{x} - \cos^2{x} -2\cos{x} + 6\sin{x} - 1=0$

$-(3 \sin x - \cos x)^2 + 2(3 \sin x - \cos x) - 1= 0$

$(3 \sin x - \cos x)^2 - 2(3 \sin x - \cos x) + 1= 0$

Answer 2

$x=2y$ obtenemos después de alguna manipulación $$-4\cos^4 y-36\cos^2y\sin^2 y+24\cos^3 y\sin y=0$$ $$-4\cos^2 y{(\cos y-3\sin y)}^2=0$$ ¿puedes terminarlo?

Answer 3

Abreviatura de $\sin x$ y $\cos x$ a $s$ y $c$ y escribir $\sin2x=2sc$ y $\cos2x=2c^2-1$ la ecuación se convierte en

$$6sc+4(2c^2-1)-2c+6s-6=0$$

Factorización de un $2$ y agrupando términos, lo reescribimos como

$$3s(c+1)+4c^2-c-5=0$$

Pero $4c^2-c-5=(4c-5)(c+1)$ por lo que tenemos dos soluciones en $s$ y $c$ :

$$c=-1\quad\text{and}\quad3s+4c=5$$

Volver a $\sin x$ y $\cos x$ y reconociendo el triple pitagórico $3^2+4^2=5^2$ se convierten en

$$\cos x=-1\quad\text{and}\quad\sin(x+\theta)=1$$

donde $\sin\theta=4/5$ y $\cos\theta=3/5$ por ejemplo $\theta=\arcsin(4/5)$ . Por tanto, el conjunto de soluciones es

$$\{\pi+2n\pi\mid n\in\mathbb{Z}\}\cup\{\pi/2-\arcsin(4/5)+2n\pi\mid n\in\mathbb{Z} \}$$

Observación: Las abreviaturas $s$ y $c$ no son más que una comodidad. Una vez que tenga todos los senos y cosenos hasta $\sin x$ y $\cos x$ Me resulta tedioso escribir las funciones completas una y otra vez.

Answer 4

Sea $t = \tan (x/2)$ . Entonces $\sin x = 2t/(1+t^2)$ y $\cos x = (1-t^2)/(1+t^2)$ . Tu ecuación parece cuártica después de multiplicar ambos lados por $(1+t^2)^2$ . $$12t(1-t^2)+4((1-t^2)^2-4t^2)-(2-2t^2-12t)(1+t^2)-6(1+t^2)^2$$ pero se simplifica a $-4(3t-1)^2=0$ Así que $t = 1/3$ , dando $x = 2(\tan^{-1} t + n\pi) = 2(\tan^{-1}{\frac13}+n\pi)$ para cualquier número entero $n$ ya que $\tan$ tiene periodo $\pi$ .

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Lo anterior $t$ -sustitución omite la posibilidad de que $x = (2n+1) \pi$ que en realidad es una solución: tachar el $\sin$ en la ecuación y observe que $4(1)-2(-1)-6 = 0$ .

Answer 5

Así que creo que esta idea será buena. Pero es un poco largo considerar

t=tanx por lo que sinx será sin