Sea $f$ sea continua en $[0, \infty)$ . Si $f(x) 0$ y $\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = 0$ demuestre que existe un $c$ en $[0, \infty)$ tal que $f(x) f(c)$ para todos $x$ en $[0, \infty)$ .
Creo que esto puede tener que ver con el teorema del máximo/mínimo, pero no tengo ni idea. Gracias de antemano por su ayuda.
Si $f$ es constante $0$ entonces $c=0$ está bien. En caso contrario, existe $a\geq 0$ tal que $f(a)$ es positivo. Toma $\varepsilon=f(a)$ . Entonces para todos $x$ más grande que algunos $b>0$ , $f(x)$ es inferior a épsilon. En el intervalo $[0,b]$ entonces sabemos por el teorema del máximo/mínimo que $f$ tiene un máximo $f(c)$ que sea mayor o igual que $f(a)$ . Es el máximo en todo el intervalo de cero a infinito.
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