La condensación de Bose-Einstein se produce en 3 dimensiones. Sin embargo, no es posible que ocurra en 1 ó 2 dimensiones; de hecho, yo mismo puedo demostrarlo. ¿Cuál es la explicación?
Respuesta
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Para simplificar, consideraré gases no interactuantes. La idea aquí es que existe un límite en la densidad de estados excitados en 3 y dimensiones superiores, mientras que no existe tal límite en 1 y 2 dimensiones. Este límite obliga a condensar las partículas del gas en el estado de reposo en las dimensiones 3 y superiores, pero no en las inferiores.
Los detalles son un poco engorrosos de escribir desde cero, así que me referiré a algunos detalles estándar y esbozaré la parte no trivial. Consulta las ecuaciones (7.31) y (7.32) de Mehran Kardar, Statistical physics of particles, donde se deduce el número de ocupación medio de un gas no relativista. Escribe lo mismo en $d$ dimensiones. Si ahora convertimos la integral para el número de ocupación medio en una forma adimensional, llegaremos a la generalización de la ecuación (7.34) para $d-$ dimensiones dadas por
$$ n = \dfrac{g}{\lambda^d} f^1_{d/2}(z)$$
donde
$$ f^1_{m}(z) = \dfrac{1}{(m-1)!} \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx x^{m-1}}{z^{-1}e^x - 1}$$
Esta integral es finita para todos los valores de $z$ si $d \geq 3$ y, por tanto, tiene un valor máximo , mientras que no ocurre lo mismo con dimensiones inferiores. En $d \geq 3$ por lo que tenemos un límite en la densidad de estados excitados en $z = 1$ dado por
$$ n _x = \dfrac{g}{\lambda^d} f^1_{d/2}(z) \leq n* = \dfrac{g}{\lambda^d} \zeta_{d/2}$$
donde $\zeta_{d/2}$ es el valor máximo de la densidad numérica de estados excitados en $z = 1$ .
Dado que la integral no es finita y, por tanto, no existe tal valor máximo para $d = 1,2$ por lo que no hay BEC en dimensiones inferiores para este sistema.
