Límite de conjuntos e intercambio de límite e integral

Question

Supongamos que tengo una colección de subconjuntos, $\{ A_i \}_{i \ge 1}$ todos los cuales son subconjuntos de algún conjunto $S$ .

Supongamos que tengo una medida sobre subconjuntos de $S$ una función no negativa $f$ de la forma $f(A)=\sum_{a \in A} g(a)$ donde $g$ en no negativo. $f$ puede alcanzar el infinito, pero $g$ No puedo.

Si $f(A_i)$ es monótona creciente, ¿cuál es la relación entre $\lim f(A_i)$ y $f(\limsup A_i), f(\liminf A_i)$ ? ¿Y en el caso de que $\lim A_i$ ¿existe?

Answer 1

Para obtener al menos algún resultado positivo, piense en $f(A_i)$ como la integral de la función característica $\chi_{A_i}$ la convergencia de conjuntos se interpreta fácilmente como convergencia de funciones características. El lema de Fatou, el teorema de convergencia monótona y el teorema de convergencia dominada te dan alguna información, aunque probablemente ya lo sabías. La monotonicidad de $f(A_i)$ no parece ayudar mucho.