Si $X$ se distribuye exponencialmente con el parámetro $1$ demuestre que $\exp(-X)$ se distribuye uniformemente en $[0,1]$ .

Question

Esto es lo que tengo hasta ahora:

El PDF de $X$ es $$f_X(x)=e^{-x}$$ cuando $x\geq0$ y $0$ de lo contrario. La FCD de $X$ es $$P(X\leq x)=F_X(x)=1-e^{-x}$$ cuando $x\geq 0$ y $0$ de lo contrario. Sé que quiero acabar con el pdf de $Y=e^{-X}$ en $$f_Y=1$$ en $[0,1]$ y $0$ en caso contrario, de ahí que sea una distribución uniforme. Entonces,

\begin{align}F_Y(y)&=P(Y\leq y)\\ &=P(e^{-X}\leq y)\\ &=P(-\ln(y)\leq X) \end{align} No sé cómo proceder a partir de aquí. Además, sé que $X=-\ln(Y)$ pero no estoy seguro de cómo utilizarlo o si es necesario.

Answer 1

Ya casi está. Sólo tienes que observar que $$\Pr (-\ln y \le X) =1 - \Pr(X < -\ln y) = 1 - \left( 1 - e^{\ln y}\right) = y.$$

Por lo tanto, $F_Y(y) = y$ y $f_Y(y) = 1$ .

Answer 2

$$\begin{align*}F_Y(y) &= P(Y\leq y) \\&= P(\exp(-X)\leq y) \\&= P(X\geq -\log(y)) \\&= 1 - P(X\leq-\log(y)) \\&= 1 - (1 - \exp(\log(y))) \\&= y\end{align*}$$ y por lo tanto $$f_y = \frac{\mathrm d}{\mathrm d y} F_Y = 1$$