Problema de la expectativa condicional: error en mi argumento

Question

Supongamos que $\mathcal{G}$ es un sub- $\sigma$ -de $\mathcal{F}$ y que $X$ y $Y$ son variables aleatorias con la propiedad de que $$ \mathbb{E}[X | \mathcal{G}] = Y \quad \text{and} \quad \mathbb{E}[X^2 | \mathcal{G}] = Y^2.$$ Demuestra que $X = Y$ casi seguro.

Esto es un problema en el libro de Allan Gut. No quiero pistas para una solución (por ahora). Sólo necesito que encuentres el error que estoy cometiendo.

"Contraejemplo": Si $\mathcal{G} = \{\emptyset, \Omega \}$ donde $\Omega$ es todo el espacio, entonces sólo obtenemos la información $\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[Y]$ y $\mathbb{E}[X^2] = \mathbb{E}[Y^2]$ lo que claramente no es suficiente para deducir $X = Y$ casi seguro.

Answer 1

Observe que $Y$ y $Y^2$ son medibles con $\mathcal G=\{\varnothing,\Omega\}$ lo que significa que son constantes y, por tanto, iguales a sus expectativas.

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La información que se obtiene es $Y=\mathbb EX$ y $Y^2=\mathbb EX^2$ .

Esto implica que $\mathsf{Var}(X)=\mathbb EX^2-(\mathbb EX)^2=Y^2-Y^2=0$ .

Así que $X$ debe ser degenerada, es decir, constante casi con seguridad.

Entonces $X=\mathbb EX=Y$ casi seguro.