por qué la matriz Identidad tiene 1's en la Diagonal Principal

Question

¿Podría alguien explicar por qué los 1 de la matriz identidad están presentes en la diagonal principal?

$ A=\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 8 & 0 \end{bmatrix} $

$ B=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $

$ C=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $

mientras he realizado la multiplicación de A & B y A & C he obtenido el mismo resultado.¿Hay alguna otra razón para seleccionar 1's en la diagonal principal en I .

Answer 1

La matriz identidad se utiliza para expresar el operador lineal identidad $id:V\to V$ sobre alguna base $[b_1,\ldots,b_n]$ del espacio vectorial $~V$ . En columna general $j$ de dicha matriz da las coordenadas, en la base utilizada, de la imagen bajo el operador del vector base $b_j$ . Aquí el operador mapea $b_j$ a sí mismo, por lo que la pregunta es ¿cuáles son las coordenadas de $b_j$ en la base $[b_1,\ldots,b_n]$ ? Sin saber mucho sobre los vectores de base, se puede ver que las coordenadas son $(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ donde el $1$ está en la posición ( $j$ ) de $b_j$ en la lista. Ahora si pones esas coordenadas en la columna $j$ de una matriz, la entrada $1$ termina en la diagonal principal. Haga esto para cada columna, y obtendrá $1$ en la diagonal principal, y $0$ en todas partes. Esa es la matriz de identidad.

Tenga en cuenta que esto funciona para cualquier y ésta es una propiedad bastante especial del operador lineal identidad: se obtiene la misma matriz para él, independientemente de la base que se utilice. Por eso se llama el matriz de identidad.