Un problema con valores propios

Question

Sea A una matriz real cuadrada.

1) Si $|A^3 - I|=0$ entonces 1 es un valor propio de A. (falso)

2 $|A|=0$ entonces 1 es el valor propio de $(I+A)^2$ (verdadero)

Mi solución utiliza el hecho de que si la matriz M tiene valor propio $\lambda$ entonces $M^n$ tiene valor propio $\lambda^n$ .

1) 1 es el valor propio de $A^3$ . Entonces A debería tener 1 como valor propio. El problema es que se supone que (1) es falso.

2) Por un lado, 0 es valor propio de A. Por otro lado, (I+A) tiene 1 como valor propio. Mi problema es que no veo que 0 para A implica 1 para (I+A)

Answer 1

1. Si $A^3-I=0$ entonces el polinomio $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$ es divisible por el polinomio mínimo $\mu_A$ de $A$ . Existen varias posibilidades para el polinomio mínimo de $A$ uno de los cuales es $\mu_A=X^2+X+1$ y un ejemplo de tal matriz es $$A=\begin{pmatrix}-1/2&\sqrt3/2\\-\sqrt3/2&-1/2\end{pmatrix},$$ que satisface $A^3-I=0$ Sin embargo $1$ no es un valor propio de $A$ .

   Para ver por qué $A^3-I=0$ es bastante fácil: el polinomio característico de $A$ es $X^2+X+1$ (ya que $\text{tr}(A)=-1$ y $\lvert A\rvert=1$ ) por lo tanto, por el teorema de Hamilton-Cayley, $A^2+A+I=0$ . Ahora $A^3-I=(A^2+A+I)(A-I)=0$ .

   Para ver que $1$ no es un valor propio de $A$ calcula el determinante de $A-I$ : $$\lvert A-I\rvert=\left\lvert\begin{matrix}-3/2&\sqrt3/2\\-\sqrt3/2&-3/2\end{matrix}\right\rvert=3\neq0.$$

2. Existe un vector distinto de cero $X$ en el núcleo de $A$ : $AX=0$ . Entonces: $$(I+A)^2X=\bigl(I+2A+A^2\bigr)X=X,$$ y esto demuestra que $X$ es un vector propio de $(I+A)^2$ asociado al valor propio $1$ .

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Para $A$ en la Parte 1, tenía en mente que una raíz compleja de $X^2+X+1=j=\mathrm{e}^{2i\pi/3}=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2$ cuya representación matricial es la matriz $A$ He dado. Para ello, es bastante útil saber que lo siguiente: $$\mathbb{C}\longrightarrow M_2(\mathbb{R}):z=x+iy\longmapsto\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}$$ es un monomorfismo de anillo; la matriz de la derecha corresponde a la matriz del endomorfismo de la multiplicación por $z$ en el plano complejo identificado con $\mathbb{R}^2$ .

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Por el comentario parece que no estás familiarizado con el concepto de polinomio mínimo. Así que vamos a intentar un enfoque diferente. Desde $\bigl\lvert A^3-I\bigr\rvert=0$ existe un vector distinto de cero $X$ tal que $$\bigl(A^3-I\bigr)X=0,$$ por lo tanto (ya que $A^3-I=(A-I)\bigl(A^2+A+I)$ ): $$(A-I)\bigl(A^2+A+I\bigr)X=0.$$ Así que ya ves que es suficiente con tener $\bigl(A^2+A+I\bigr)X=0$ . Podemos entonces concluir que la afirmación 1 es falsa exhibiendo una matriz $A$ tal que $A^2+A+I$ tiene determinante cero.