¿La conjugación de un subgrupo de Lie es un subgrupo de Lie?

Question

¿La conjugación de un subgrupo de Lie es un subgrupo de Lie?

1. La conjugación de un subgrupo es un subgrupo. Por lo tanto, una conjugación de un subgrupo de Lie es un subgrupo.
2. La conjugación es un difeomorfismo. Así, una conjugación de un subgrupo de Lie es la imagen de una variedad por un difeomorfismo, por lo que se trata de una variedad incrustada.
3. Finalmente necesito demostrar la suavidad de la multiplicación de grupos y la operación inversa. Pero no estoy seguro de que las restricciones de ellos en el submanifold siguen siendo suave. ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Sea $G$ sea un grupo de Lie, $H$ un subgrupo de Lie de $G$ y $g\in G$ . Usted pregunta si $gHg^{-1}$ es un subgrupo de Lie de $G$ . La respuesta es sí:

El mapa $$C_g:G\to G,\quad a\mapsto gag^{-1}$$ es un isomorfismo de grupo de Lie (un difeomorfismo y un isomorfismo de grupo). En efecto, $C_{g^{-1}}$ proporciona una inversa suave. Por lo tanto, $C_g(H)=gHg^{-1}$ es un subgrupo de Lie de $G$ .

Answer 2

Consideremos un subgrupo de Lie $H$ del grupo de Lie $G$ y arreglar $g_0\in G$ . Como usted menciona, el mapa de conjugación $\varphi\colon h\mapsto g_0hg_0^{-1}$ es un difeomorfismo de $H$ en su imagen $H'$ . Su pregunta es entonces si \begin{equation} \mu'\colon H'\times H' \to H' \end{equation} y \begin{equation} \iota'\colon H'\to H' \end{equation} son suaves. Obsérvese que $\varphi$ es un homomorfismo de grupo, podemos escribir \begin{equation} \iota' = \varphi\circ\iota\circ\varphi', \end{equation} donde $\iota$ es el mapa inverso en $H$ . Como los tres mapas de la derecha son suaves, también lo es $\iota'$ . ¿Puede decir algo similar para $\mu'$ ?

Answer 3

Supongamos que $a \in G$ y que $(H,\varphi)$ es un subgrupo de Lie de $G$ . Si $c_a\colon G \to G$ es la conjugación por $a$ queremos ver que $(c_a(H), \varphi \circ c_a^{-1})$ es un subgrupo de Lie de $G$ . Desde $c_a$ es un difeomorfismo y $c_a(H)$ es un subgrupo de $G$ sólo tenemos que ver que la multiplicación es suave (la suavidad de la inversión se deduce del Teorema de la Función Inversa).

Si $m_G$ es la multiplicación en $G$ etc, tenemos que $$m_{c_a(H)}(x,y) = m_G(\varphi \circ c_a^{-1}(x), \varphi\circ c_a^{-1}(y)) = m_H \circ (c_a^{-1} \times c_a^{-1})(x,y)$$ y así $m_{c_a(H)}$ es suave, ya que tanto $m_H\colon H \times H \to H$ y $c_a^{-1}\times c_a^{-1}\colon c_a(H) \times c_a(H) \to H \times H$ son suaves.