Pruebas: Triángulo de división

Question

Demostrar que, si ABC es un triángulo con ángulo A = 90 grados, ángulo B = 30 grados y C = 60 grados, y W es el punto medio de la hipotenus, entonces la línea connetcting W a A divide ABC en un triángulo equaliteral y un triángulo isósceles.

Así es como fue mi proceso de pensamiento:

Primero miré las condiciones:

• Triángulo equilátero: todos los lados igual de largos.
• Triángulo isósceles: dos lados igualmente largos.

Ahora para comprobar que se cumplen estas condiciones después de dividir el triángulo tengo que averiguar cómo lo divide la línea ZA.

Ya lo sé:

$z^2=x^2+y^2$

$\frac{z}{2}=\frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2}$

Ahora me he quedado atascado. Así que intenté otro enfoque:

Sin Cos y Tan con $\left\{\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{\sqrt{3}}\right\}$ Para averiguar que la longitud de ZA y luego calculé los ángulos que era 30 y 60. Teniendo todas las longitudes y ángulos pude comprobar que la hipohesis era correcta.

Problema: No creo que esto se acepte como prueba.

¿Podría alguien hacer algún comentario al respecto?

Esto es lo que creo que es el problema( cuando dejé de usar variables y empecé a usar valores pasé de una demostración general a un caso específico, de ahí que no demuestre que la demostración se cumpliría en todos los casos.

Además, ¿podría alguien proporcionar una buena prueba sencilla de esto?

Answer 1

Si W es el punto medio de BC para cualquier triángulo rectángulo, entonces |WA| = |WB| = |WC|.

Esto se debe a que, si dibujas un semicírculo centrado en W con BC como radio, entonces, ya que BAC es un ángulo recto, A está en ese semicírculo.

Dado que |WA| = |WB|, AWB es isósceles. Esto es válido para cualquier triángulo rectángulo.

Dado que |WA| = |WC|, AWC es un triángulo isósceles. De nuevo, esto es válido para cualquier triángulo rectángulo.

Ahora, hacemos uso de el hecho de que $\angle$ ACB = 60. W $\angle$ WAC = $\angle$ WCA = 60. Por lo tanto, $\angle$ AWC = 180-60-60 = 60, por lo que WAC es equilátero.

Answer 2

Yo iría a una prueba más geométrica.

$ABC$ es un triángulo rectángulo. Por lo tanto, se encuentra en un círculo centrado en el centro de la hipotenusa. Así que $ZC=ZA$ es isósceles y $\widehat{ZCA}=\widehat{ZAC}=60°$ . El último ángulo de $\widehat{AZC}$ también es igual a $60°$ como la suma de los ángulos de un triángulo es igual a $180°$ y finalmente $ZAC$ es equilátero.

El otro triángulo es isósceles como $ZA=ZB$ .